Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Рубин А.Б. -> "Кинетика биологических процессов" -> 28

Кинетика биологических процессов - Рубин А.Б.

Рубин А.Б., Пытьева Н.Ф., Резниченко Г.Ю. Кинетика биологических процессов — М.: МГУ, 1987. — 304 c.
Скачать (прямая ссылка): kinetikabiologicheskihprocessov1987.djvu
Предыдущая << 1 .. 22 23 24 25 26 27 < 28 > 29 30 31 32 33 34 .. 126 >> Следующая

Посмотрим, каковы условия, позволяющие заменять полную систему уравнений вырожденной.' Очевидно, для правомерности такой замены необходимо, чтобы независимо от начальных условий изображающая точка полной системы быстро переходила на изоклину вертикальных касательных F(x, у)= 0. Это означает, что начальные условия х0 должны попасть в область притяжения устойчивой особой точки так называемого присоединенного урав-
этого уравнения как раз расположены на кривой F(x, у)= 0. Иными словами, необходимо, чтобы решение х = х(у) алгебраического уравнения для нахождения координат особой точки присоединенного уравнения F(x, у) = 0 было в то же время устойчивой изолированной особой точкой этого присоединенного уравнения: е----= F(x, у) при всех значениях у, где у уже играет
роль параметра.
В этом состоит основное содержание теоремы А. Н. Тихонова.
Приведем теперь строгую формулировку этой теоремы, которая указывает условия, позволяющие проводить редукцию системы дифференциальных уравнений, т. е. замену дифференциальных уравнений для быстрых переменных алгебраическими. 3*а-пишем систему N уравнений, часть которых содержит малый параметр е перед производной:
Назовем систему (I. 7—4) присоединенной, а систему (I. 7—5) — вырожденной.
Решение полной системы (1.7—4) — (1.7—5) стремится к решению вырожденной при е->0, если выполняются следующие ус* ловия:
а) решение полной и присоединенной систем единственно, а правые части непрерывны;
нения е =--------— F (х, у), поскольку особые точки
dt
(1-7—5)
(1.7-4)
б) решение *1=ф1 (*ь• • • »*n). • • • >*г=<Рг(*ь •.. представ-
ляет собой изолированный корень алгебраической системы
Fp(xlt ... ,хг, 4+1, ... ,xN) = 0, р= 1.....г
(в окрестности этого корня нет других корней);
в) решение хи х2,...,хг — устойчивая изолированная особая
точка присоединенной системы (1.7—4) при всех значениях Хг+1 >... 1 *
г) начальные условия х\°, х?,... ,хг° попадают в область влияния устойчивой особой точки присоединенной системы.
Число начальных условий вырожденной системы меньше, чем полной: начальные значения, быстрых переменных не используются в вырожденной системе. Согласно теореме Тихонова, если выполняется условие (в), результат не зависит от начальных условий для переменных присоединенной системы.
Мы видим, что необходимым условием, позволяющим проводить редукцию системы дифференциальных уравнений, является наличие малого параметра е в уравнении (1.7—4). Если в полной системе уравнений имеются параметры разной степени малости, теорему Тихонова можно применять несколько раз последовательно. Сначала рассматривается вырожденная система прй ег->-0, где г—старшая степень параметра, затем исследуется вырожденная система при и так далее по убывающей
степени параметра.
В уравнениях химической и биологической кинетики роль малых параметров часто играют постоянные времени быстрых процессов различного порядка. Это позволяет анализировать поведение сложных систем на различных промежутках времени, что значительно облегчает их рассмотрение. В других случаях в качестве малого параметра выступает отношение малых концентраций к большим. Такая ситуация часто возникает в процессе выделения безразмерных переменных в кинетических уравнениях.
Теорема Тихонова широко используется при исследовании сложных систем методом стационарных концентраций. Принтом сначала на основании экспериментальных данных обычно строится вероятная схема, включающая довольно большое число переменных с разными характерными временами. Затем с помощью предельного перехода е->0. большая часть быстрых переменных исключается. Простая система, содержащая оставшиеся медленные переменные, исследуется и результаты сравниваются с экспериментом.
Вернемся к нашей системе из двух уравнений (1.7—2), одно из которых описывает изменение во времени быстрой, а другое — медленной переменной:
—- = G(x, у), = F (х, у).
dt У dt .
Соответствующая ей вырожденная система имеет вид:
F(x, у) = 0.
Кривая F(x, у) = 0 характеризует для вырожденной- системы зависимость стационарных значений переменной х от параметра у в отличие от полной системы, в которой хну являются равноправными переменными. Рассматривая уравнение F(x, у)= 0, можно легко сделать вывод о том, какие из точек этой кривой соответствуют устойчивым решениям х=х(у) присоединенного
уравнения: e—— = F(x, у), где у — параметр. Вспомним (§ 1),
at
что устойчивость точек этой кривой определяется знаком производной Fx(x, у), причем те точки кривой F(x, у) =0, в которых Fx > 0, являются неустойчивыми, а те, для которых Fx <
< 0, — устойчивыми. Например, на фазовом портрете, представленном на рис. 1.39, изображающая точка в зависимости от знака производной Fx(x, у) будет быстро двигаться по направлению к (F*< 0) или от (Fx > 0) кривой F(x, у)= 0. Движение по самой кривой F (х, у)= 0 есть медленное движение, и оно происходит в соответствии с уравнением
Предыдущая << 1 .. 22 23 24 25 26 27 < 28 > 29 30 31 32 33 34 .. 126 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed