Кинетика биологических процессов - Рубин А.Б.
Скачать (прямая ссылка):
Для качественного исследования динамической системы, описываемой системой двух дифференциальных уравнений с двумя
неизвестными
dx
~!Г
Р(х, у), JjL=Q(x, У), at
т. е. для выяснения возможных типов ее поведения нет надобности находить все фазовые траектории. Для этой цели достаточно найти лишь некоторые, основные фазовые траектории, определяющие качественный характер фазового портрета. Именно нужно знать число, характер и взаимное расположение состояний равновесия (особых точек) предельных циклов, а также ход сепаратрис. Знания этих основных траекторий достаточно для до-
ведения до конца качественного исследования динамической системы.
Вопрос о существовании состояний равновесия и их характере решается сравнительно простыми приемами, изложенными в § 4. В то же время нет общих методов решения вопроса о существовании предельных циклов, об определении их числа и хотя бы приближенного места расположения. В современной теории колебаний существует несколько критериев, позволяющих сделать определенные заключения о существовании в системе предельных циклов. Некоторые из них перечислены нами выше, другие описаны в специальной литературе. Однако для каждого типа задачи приходится изобретать специальные методы и прибегать к числениому интегрированию или графическому интегрированию с помощью метода изоклин.
$ 7. ПРОБЛЕМА БЫСТРЫХ И МЕДЛЕННЫХ ПЕРЕМЕННЫХ.
ТЕОРЕМА ТИХОНОВА
Проблема, выбора существенных переменных, необходимых и достаточных для построения адекватной математической модели изучаемого объекта, есть одна из основных проблем математического моделирования.
Задача исследования состоит в том, чтобы построить модель явления, содержащую возможно меньшее число переменных и произвольных параметров и в то же время правильно отражающую основные свойства этого явления (например, устойчивость, колебательность, триггерные свойства и т. д.). Если увеличение числа переменных не меняет существенно общие свойства модели, такие дополнительные переменные будут «лишними» и их не следует включать в модель. Мы разберем вопрос о том, в каких случаях, не утрачивая основных свойств моделируемого объекта, можно сократить исходное число переменных и тем самым упростить модель.
Проблема относительно легко разрешима в случае, когда в системе имеет место так называемая иерархия времен; совместно протекающие процессы сильно отличаются по своим характерным временам. Для группы быстро изменяющихся переменных можно не записывать дифференциальных уравнений, поскольку они практически мгновенно по сравнению с остальными более медленными достигают своих стационарных значений. Тогда для быстрых переменных вместо дифференциальных уравнений, описывающих их поведение во времени, можно записать алгебраические уравнения, определяющие их стационарные значения. Эти значения быстрых переменных могут быть подставлены в дифференциальные уравнения для медленных переменных в качестве параметров. Таким образом, осуществляется редукция, т. е. уменьшение числа дифференциальных уравнений полной системы, которая теперь будет включать лишь медленные переменные, зависящие от времени.
В химической кинетике такой метод был предложен впервые Боденштейном (1913) и получил название метода' квазистационарных концентраций..Обычно он применяется при исследовании систем химических реакций, промежуточные продукты которых являются частицами с высокой реакционной способностью. К таким реакциям относятся в первую очередь все каталитические процессы, а также свободнорадикальные и цепные реакции.
В процессах, идущих с участием активных промежуточных частиц, за малый промежуток времени (за который относительное изменение концентраций исходных веществ невелико), устанавливается режим, при котором разность скоростей образования Уо и расходования vp промежуточных соединений становится малой по сравнению с этими скоростями. Это означает, что концентрации промежуточных веществ практически не меняются. Такой режим называется квазистационарным, а отвечающие ему концентрации активных промежуточных частиц — квазистацио-нарными концентрациями.
В квазистационарном режиме дифференциальные уравнения для изменений концентраций каждого из промежуточных соединений Ri
JO :__ 10 /
—— х>0 Vp у I — 1, Z,
1 at
можно заменить, пренебрегая малой величиной ческими
= 1, 2
Здесь Vo° и v{p являются функциями концентраций исходных веществ и самих активных промежуточных соединений, поэтому из I алгебраических уравнений можно выразить I квазистационар-ных концентраций стабильных химических веществ. По мере расходования этих веществ квазистационарные концентрации промежуточных соединений будут изменяться, но если время установления квазистационарного режима мало, он не будет нарушаться на протяжении всего процесса.
Конечно, такое рассмотрение неправомерно на начальных стадиях процесса, в течение которых концентраций промежуточных частиц изменяются от нуля до' своих квазистационарных значений. Этот период носит название периода индукции. Разработке метода квазистационарных концентраций (КСК) и оценке длительности периода индукции посвящены работы Бенсона (1964), Семенова, Франк-Каменецкого (1967) и др.
