Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Рубин А.Б. -> "Кинетика биологических процессов" -> 25

Кинетика биологических процессов - Рубин А.Б.

Рубин А.Б., Пытьева Н.Ф., Резниченко Г.Ю. Кинетика биологических процессов — М.: МГУ, 1987. — 304 c.
Скачать (прямая ссылка): kinetikabiologicheskihprocessov1987.djvu
Предыдущая << 1 .. 19 20 21 22 23 24 < 25 > 26 27 28 29 30 31 .. 126 >> Следующая

Например, для системы
JiL=-x + y[\-(x* + y*)]
at
траектория х2-\-у2= 1 является предельным циклом. Его параметрические уравнения будут:
x=cos(t — *о), y=sin.(*—10),
а уравнения всех других фазовых траекторий запишутся в виде:
У1 + Се-2(<-« ’ V1 + Ce-W-t*
cos(f —10) ___ sin(f—10)
______________ * У ________________
Значениям постоянной интегрирования С > 0 соответствуют фазовые траектории, накручивающиеся на предельный цикл изнутри (при t —у оо), а значениям —1<с<0 — траектории, накручивающиеся снаружи.
Предельный цикл называется устойчивым, если существует такая область на фазовой плоскости, содержащая этот предельный цикл, — окрестность е, что все фазовые траектории, начинающиеся в окрестности е, асимптотически при оо приближаются к предельному циклу. Если же, наоборот, в любой сколь угодно малой окрестности е предельного цикла существует по крайней мере одна фазовая траектория, не приближающаяся к предельному циклу при t-*- оо, то такой предельный цикл называется неустойчивым. Для иллюстрации на рис. (1.34) изображе-яы устойчивый предельный цикл а и неустойчивые предельные диклы бив.
У* о-
у 6
§Рис. 1.34. Устойчивый (а) и неустойчивый (б, в) пре-—»- дельные циклы
Заметим, что неустойчивые циклы, подобные изображенному на рис. 1.34, в, такие, что все траектории с одной стороны (например, извне) приближаются к ним, а с другой стороны- (например, изнутри) удаляются от них при t-> иногда называют «полуустойчивыми» или двойными (последнее название обусловлено тем, что обычно такие циклы при подходящем изменении параметра системы расщепляются на два, один из которых устойчив, а другой — неустойчив).
Для нахождения предельных циклов не существует таких простых путей, как для нахождения стационарных точек и исследования их устойчивости. Однако исследование фазовой плоскости системы часто помогает дать ответ на вопрос, есть в данной системе предельный цикл или нет.
Сформулируем без доказательств несколько теорем, определяющих наличие предельного цикла по топологическому строению фазовой плоскости. -
Теорема 1. Пусть на фазовой плоскости существует область, из которой фазовые траектории не выходят и в которой нет положений равновесия .(особых точек). Тогда в этой области обязательно существует предельный цикл, причем все остальные траектории обязательно наматываются на него.
На рис. 1.35 изображена такая область G, из которой фазовые траектории не выходят. Это означает, что фазовые траектории либо входят, пересекая границу, внутрь области, либо сама граница будет фазовой' траекторией. Легко видеть, что такая область не может быть односвязной. Поскольку траектории наматываются на предельный цикл изнутри, это означает, что существует на фазовой плоскости внутри этого устойчивого предельного цикла либо неустойчивая особая точка, либо неустойчивый предельный цикл, очевидно, не принадлежащие рассматриваемой нами области G.
Таким образом, если найти на фазовой плоскости такук> двухсвязную область, что направления фазовых траекторий на всей границе обращены внутрь этой области, то можно утверждать, что внутри этой области имеется предельный цикл.
Рис. 1.37. Фазовый портрет системы, имеющей устойчивый и неустойчивый (пунктир) предельные циклы
Теорема 2. Если существует на фазовой плоскости некоторая замкнутая область, такая, что все фазовые траектории, пересекающие границу этой области, входят в нее и внутри этой области имеется неустойчивая особая точка, то в последней обязательно имеется хотя бы один предельный цикл (рис. 1.36).
Приведем некоторые критерии отсутствия замкнутых фазовых траекторий:
1) если в системе не существует особых точек, то у нее не может быть и замкнутых траекторий;
2) если в системе существует только одна особая точка, отличная от узла, фокуса и центра (например, седло), то такая система не допускает замкнутых траекторий;
3) если в системе имеются только простые особые точки, причем через все гочки типа узел и фокус проходят интегральные кривые, уходящие в бесконечность, то в такой системе нет замкнутых фазовых'траекторий.
В случае, если критерии 1—3 выполнены, мы можем с уверенностью утверждать, что в системе нет предельных циклов. Однако невыполнение этих критериев еще не позволяет сделать вывод о нaлиqии в системе предельных циклов и, следовательно, автоколебаний.
Неустойчивый предельный цикл, само собой разумеется, также может содержаться в фазовом портрете грубых систем. Однако такой предельный цикл не соответствует реальному периодическому процессу; ^он играет лишь роль «водораздела», по обе? стороны которого траектории имеют различное поведение. Например, на рис. 1.37 неустойчивый предельный цикл представляет собой сепаратрису, отделяющую область тяготения траекторий к устойчивой особой точке, с одной стороны, и к устойчивому предельному циклу — с другой.
Предыдущая << 1 .. 19 20 21 22 23 24 < 25 > 26 27 28 29 30 31 .. 126 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed