Транспорт электронов в биологических системах - Рубин А.Б.
Скачать (прямая ссылка):
Прежде чем вывести оценки для вероятности суммы состояний, отметим, что в силу несовместности отдельных состояний комплекса вероятность суммы состояний равна сумме вероятностей состояний. Это позволяет для получения необходимых оценок воспользоваться системой дифференциальных уравнений (7.1). Кроме того, отметим также тот простой факт, что если имеется верхняя оценка для суммы вероятностей, то эта же оценка справедлива и для каждого слагаемого и, наоборот, из нижней оценки для одного слагаемого следует справедливость этой оценки и для всей суммы.
Совершенно аналогично тому, как это было сделано при выводе неравенства (7.10), можно получить верхнюю и нижнюю оценки и для вероятности суммы произвольных г состояний комплекса
суммируя необходимые уравнения из системы уравнений (7.1).
Для удобства обозначений будем считать, что нам необходимо получить оценку лишь для вероятности суммы первых г состояний. Просуммировав дифференциальные уравнения (7.1) для вероятностей рг, /—1, 2, ..., г этих состояний и приводя подобные члены, получим дифференциальное уравнение для суммы этих вероятностей:
d(px +... + pr)/dt = -кпрх -...-k'rrpr +
+ <7'12)
j>r\s=1 J
Здесь кп —сумма всех констант скорости, с которыми /-е состояние (1 </<г) переходит в состояния, не принадлежащие выделенным r-состояниям. Исходя из выражения (7.12) выведем оценки для суммы вероятностей ..., рг. Среди вероятностей ph j>r нет вероятностей таких, что их индексы меньше г, поэтому, пользуясь неравенством
Zpj<l-ip,, (7.13)
j>r 1=1
следующим из условия нормировки
Hp,=h
1=1
а также тем, что
k[!А + • • • + KrPr Z minк'и(pi + ... + pr\
1 <l<r / \
Ц tkp IPj < ZPj max\ ?kls |<
7>г\^=1 J \J>r J J \'5'=1
^[I-TP, Jmax^Z к p J,
можно получить дифференциальное неравенство для суммы вероятностей:
^ X Рг j / dt < ах - (ах + Ъх )Х рг
где а\—максимальная из сумм констант скорости, с которыми комплекс переходит в выделенные г состояний исходя из остальных состояний; Ъ\—минимальная из сумм констант скорости, с которыми выделенные г состояний переходят во все остальные состояния. Решая это дифференциальное неравенство, получим верхнюю оценку для (вероятности суммы состояний [Шинкарев, 1978; Венедиктов, Шинкарев, 1979]:
Ьр,±—^г
1=1 al+bl
+
Лр/о)-------V
i=i al+bl
-(ai+bl )t
(7.15)
Здесь ах = max Y.k]S , Ъх- minkn.
\s=i
1 <l<r
Все сказанное выше для вероятности отдельного состояния дословно переносится на рассматриваемый случай.
В качестве примера применения оценки (7.15) рассмотрим граф состояний, соответствующий переносу электронов в комплексе трех одноэлектронных переносчиков в отсутствие кооперативное™
ООО <
100 ^-------101 «
Найдем оценку для состояний 100 и 101, из которых возможен переход по константе скорости ?2. В эти два состояния ведут
константы скорости к\ и^, поэтому а\ = шах (&ь кз). Рассматриваемые состояния 5 и 6 переходят в остальные состояния с константами скорости fe, поэтому Ъ\ = fe. Следовательно, согласно формуле (7.15) имеем
Это неравенство показывает, что если константа скорости существенно больше констант скорости к\ и кз, то вероятность суммы рассматриваемых состояний пренебрежимо мала, начиная со времени т~ l/fe.
Одним из возможных способов получения оценок является рекуррентный метод, когда для получения новых оценок используются уже ранее найденные. В отличие от изложенного выше метода нахождения локальных оценок, он предполагает известным если не весь граф состояний, то по крайней мере его достаточно большую часть. В связи с этим его рационально применять в случае не очень сложных схем.
Рассмотрим граф состояний комплекса, имеющий следующий вид:
Такого рода схема переходов состояний комплекса, как мы увидим далее, часто встречается при анализе переходных процессов при фотосинтезе. Кроме того, она представляет самостоятельный интерес, поскольку часто возникает при кинетическом анализе переходных процессов в ферментативных реакциях [Березин, Варфоломеев, 1979], а также при анализе надежности различного рода систем [Гнеденко и др., 1965; Соловьев, 1975; Березин, Варфоломеев, 1979]. Если на этой схеме положить все тг = 0, то получится система последовательных мономолекулярных реакций, для которой известно как точное решение [Бартлетт, 1958; Родигин, Родигина, 1960; Бенсон, 1964], так и различного рода оценки [Гнеденко и др., 1965; Соловьев, 1975].
Будем предполагать, что все к^тг—различные. Система дифференциальных уравнений, описывающая переходы, происходящие согласно схеме (7.1), имеет следующий вид:
ik"/] , + [р5(0) + р6(0) ах(к^к3)
7.2. Рекуррентный метод получения оценок
(7.16)
Точное решение
dp, / dt = - (к, + т,)р,,
