Транспорт электронов в биологических системах - Рубин А.Б.
Скачать (прямая ссылка):
Перемножая в полученной системе неравенств (7.46) сначала два первых неравенства, затем три первых неравенства и т. д., несложно получить
hPlh <(w2+/2)(w3 +/,)¦...¦ (»V, + К-\ )pq К + 1я ) (7-47)
записать также в виде (7.45). Отметим, что величины срг есть вероятности перехода за один шаг из /-го состояния комплекса в /+1-е на схеме (7.44). Выведенное неравенство (7.45) имеет простой смысл, поскольку означает, что «поток», выходящий из q-ro состояния на схеме (7.44), всегда не меньше, чем величина «потока», приходящего от какого-то одного состояния — в рассматриваемом случае первого. Это связано с тем, что другие состояния также дают, вообще говоря, ненулевые «потоки» (с константами скорости ki) в общий поток, выходящий из q-ro состояния.
Выведенное соотношение, оценивающее отношение двух вероятностей, может быть использовано для получения как верхних, так и нижних оценок для вероятностей отдельных состояний. Поскольку, как следует из условий нормировки рц<\-рх, то для вероятности рх имеем верхнюю оценку
l,p, ^ (т,м +/;+ik+i’ i=U 2> - j-1-
(7-46)
Вводя величины ср( =11/{т1 +/,), полученное неравенство можно
(7.48)
где
Оценка зависит как от состояния q, так и от пути, соединяющего первое и g-е состояния. Наилучшая оценка достигается для тех состояний и путей, ведущих к ним, для которых величина С\д максимальна.
Для получения нижней оценки заметим, что, фиксировав интересующее нас состояние, например с номером q, можно выразить вероятность этого состояния через вероятность любого другого состояния по формуле, полностью аналогичной формуле (7.45):
РдС^-Р*’
где принято обозначение (ч' -
(7.50)
<н
Пф,
mq+lq 1=s+1
Суммируя неравенства (7.50) по s, учитывая условие нормировки
п
YjPs = ' и полагая по определению Cqq=\, получим нижнюю оценку
5=1
для вероятности q-ro состояния
Ря*
( п
ЕС-1
V^=i у
(7-51)
Рассмотрим примеры применения неравенств (7.45) и (7.51). Получим верхнюю и нижнюю оценки для четвертого состояния на следующей схеме.
/
ft.
Исходя из схемы в скобках найдем, что
^ _—к
к-
п _ К К . п _ ^1 . п _
14 - , , ' , ’ ^24 ~ , ’ 34
А , + к3 п 3 Следовательно,
kj + к3 к3
Ра
>
кх +к3 к 1
(
к3 к кх к
\
2 J
+ —+ 1 кj
С 44 =1-
Интересно сравнить полученную нижнюю оценку с точным решением:
. . о -1-1
{кх + къ )к3 к^
Ра
кгк2
- + — + К
Г к^ 2
5 + 1
кл
V 1 )
Видно, что нижняя оценка практически совпадает с точным решением.
Для верхней оценки исходя из схемы найдем
И следовательно,
рА <1/ 1 + maxC4q .
Если задана иерархия величин констант скорости, то несложно сразу выбрать максимальную из величин С4а. Сравнение с точным решением показывает, что верхняя оценка является достаточно грубой.
Полученные общие оценки (7.48) и (7.51) могут быть обобщены на случай, когда рассматриваются группы состояний.
Правило для составления упрощенного графа
Пусть константы скорости перехода комплекса из одного состояния в другое таковы, что стационарная вероятность /?/ того, что комплекс находится в состоянии /, близка к нулю, т. е. pi «0. Тогда, как уже указывалось ранее, для упрощения графа состояний необходимо исключить /-тое состояние и пересчитать все константы скорости. Чтобы найти формулы для пересчета констант скорости, нужно из соответствующей системы алгебраических уравнений, отвечающей данному графу, исключить вероятность pi. Нетривиальным здесь является то, что, исключая неизвестное, к нему не возвращаются, чтобы его вычислить, а пренебрегают им, поскольку оно мало.
Уравнение для вероятностей имеет вид:
(7.52)
Откуда следует, что
ZKiPg
(7.53)
Подставляя в уравнение для ps (s ф1):
(7.54)
значениер/, даваемое выражением (7.53), получим:
Tkqlpq . Л
откуда
где
(7.57)
Формула (7.57) и есть формула для пересчета констант скорости.
перехода из q-ro состояния в .v-е состояние равна сумме старой константы скорости kQS и доли той константы скорости kqi перехода из q-то состояния в l-е состояние, которая попадает в ,v-e состояние. Отметим, что величина кь/ ^к1г имеет простой
вероятностный смысл, поскольку это есть вероятность перехода из /-го состояния в .v-е за один шаг.
Геометрически сказанное означает, что на размеченном графе состояний при исключении состояния / нужно рисовать стрелку
