Транспорт электронов в биологических системах - Рубин А.Б.
Скачать (прямая ссылка):
Общий случай [Шинкарев, 1978; Венедиктов, Шинкарев, 1979]
Рассмотренные выше стационарные оценки связаны по существу с условиями стационарности, полученными простым суммированием алгебраических уравнений для стационарных вероятностей. Однако в ряде случаев оценку можно улучшить, если производить суммирование с соответствующими числовыми коэффициентами:
г \
+... + ос
\
YtmP,-kmpn =0. (7.38)
jn^J
\J*n у
'LkJlpJ-knpl
В этой линейной комбинации некоторые из параметров ах,...,ап могут быть и нулевыми. После перегруппировки выражение (7.38) принимает вид
АР/ = APi +••• + А-1Р/-1 + А+1Р/+1 +••• +АРи’ (7.39)
где р; есть линейная функция параметров а, и констант
скорости переходов кц. Обозначив М = тах{$^ / (3,) и используя неравенство, аналогичное формуле (7.2), получим стационарную оценку для вероятности застать комплекс в /-м состоянии:
р,<\/(\ + М). (7.40)
Величина этой оценки зависит от параметров . Пола-
гая, например, в формуле (7.38) а, Ф 0, а; = 0, j Ф i для вероятности pi получим оценку, которая, как это было показано ранее (7.6), является экспоненциальной
Pl<l/(l + kn/m), (7.41)
где кц и т имеют тот же смысл, что и в выражении (7.6). Более точную оценку, чем эта, можно получить, например, если кроме а,- Ф 0 в линейной комбинации (7.38) взять ненулевые параметры а, для тех уравнений, в которые входит вероятность Эти ненулевые параметры необходимо выбрать так, чтобы обеспечить максимум величины М. Трудности нахождения оценки
(7.40) возрастают при увеличении числа ненулевых параметров. При этом точность такой оценки улучшается.
Из линейной комбинации (7.38) аналогичным образом может быть получена оценка и для любой суммы вероятностей Р\+.. .+рг.
С помощью выведенных оценок можно указать те состояния i, стационарная вероятность которых при заданных величинах констант скорости будет пренебрежимо мала. Эти вероятности могут быть исключены из системы уравнений для стационарных вероятностей, и в этом случае по-прежнему можно пользоваться условием нормировки
6 Заказ №4821
Таким образом, отыскание стационарных вероятностей может быть сведено к решению системы алгебраических уравнений меньшего порядка, чем исходная.
Нижние стационарные оценки
В отличие от (верхних оценок, которые могли быть получены локально, т. е. исходя из условия стационарности либо для интересующего нас состояния, либо для соседних с ним состояний, нижние оценки, как легко видеть, «е могут быть локальными и для их получения необходимо по существу использовать условия стационарности для всех состояний комплекса. Это связано с тем, что заселенность состоящий, которые переходят в интересующее нас состояние, может быть нулевой, что приведет к тому, что независимо от величин констант скорости стационарная вероятность этого состояния также будет равна нулю.
Нижнюю стационарную оценку для вероятности суммы состояний или, что то же, для суммы вероятностей р4 + ... +р, можно получить исходя из верхней оценки для вероятности всех других состояний pi+1, pi+2, . . ., рт поскольку если известна верхняя оценка для последних, то из условия нормировки (7.3) сразу следует нижняя оценка для вероятности данных / состояний:
pl+p2+... + p, >l-g (7.43)
где рих + р1+2 +... + рп < g < 1. Этот метод удобно использовать для оценки вероятности застать отдельный переносчик электронов в том или ином состоянии.
Кроме того, нижнюю оценку для суммы вероятностей этих состояний можно получить, если найдены следующие соотношения для вероятности суммы состояний
P1+P2+... + Pi=P1+P2+... + Pi9
а(рх+р2+- + р,) = рм,
Ь{рХ+ р2+- + Р,)= рм>
с(рх+ Р2+... + Р,)<Р„.
Тогда в силу условия нормировки (7.3) после суммирования этих неравенств получим искомую нижнюю стационарную оценку:
р^ +... + Pj < l/(l + a + b + ... + c)
Оценка для отношения вероятностей двух произвольных состояний
Для получения как верхних, так и нижних оценок важно уметь оценивать отношение между вероятностями любых двух состояний комплекса. Ниже кратко излагается один из возможных подходов для нахождения таких оценок.
Рассмотрим граф состояний комплекса и в нем выделим два
произвольных сообщающихся состояния, например 1 и j. Пусть соединяющий указанные состояния путь имеет вид:
(7.44)
Тогда, как видно, справедливо неравенство
/ \ <?-i
1=2
(7.45)
где фг = 1г /{тг +1г). Действительно, записывая условия стацио-
нарности для состояний, входящих в указанный путь, имеем 1грг +... = = (m/+l +ll+1)pl+l9 /-1, 2, ... , у-1. Здесь многоточие оз-
начает наличие неотрицательных членов, соответствующих переходу состояний комплекса в выделенные состояния по константам скорости kt. Пренебрегая этими положительными членами, получим
