Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Рубин А.Б. -> "Транспорт электронов в биологических системах" -> 57

Транспорт электронов в биологических системах - Рубин А.Б.

Рубин А.Б., Шинкарев В.П. Транспорт электронов в биологических системах — М.: Наука, 1984. — 322 c.
Скачать (прямая ссылка): transportelektronov1984.djvu
Предыдущая << 1 .. 51 52 53 54 55 56 < 57 > 58 59 60 61 62 63 .. 137 >> Следующая

^rp=bijPj = bjiPi = cij> Аопр= ai / Р, ( 6-62)
равенство (6.61) можно записать в виде
ХсД^-Д)=-АаД. (6.63)
J
Умножив каждое уравнение (6.63) на соответствующую комплексно сопряженную величину Д и сложив все уравнения, получим
? Т.СМ - д)д‘ =-1Ёй1Д|2- (6.64)
i,j=1 j 1=1
Поменяв немые индексы в левой части полученного
уравнения и воспользовавшись симметричностью матрицы С
(с = ср ), получим
? =-Л1й|Л|2- (6.65)
'•./ I j i I
Сложив соотношения (6.64) и (6.65), несложно найти для величины Л следующее выражение:
Числитель и знаменатель этого выражения — действительные и неотрицательные числа, отсюда следует, что величина X — вещественная и неотрицательная. Заметим, что если не интересоваться численным значением собственных значений, то вещественность собственных значений можно доказать значительно проще [см., например: Жаботинский, 1974]. Для этого достаточно показать, что матрица переходов системы уравнений (6.56) подобна некоторой симметричной матрице S. Так как все собственные значения вещественной симметричной матрицы являются вещественными числами, а собственные числа подобных матриц равны друг другу, то собственные значения матрицы В также будут вещественными числами. В силу принципа детального равновесия матрица G = BD является симметричной матрицей, где D — диагональная матрица равновесных (стационарных) значений вероятностей
Действительно, ее элементы, находящиеся симметрично относительно главной диагонали, в силу принципа детального равновесия равны друг другу:
Выберем матрицу S, о которой говорилось выше следующим образом. Умножив равенство G = BD слева и справа на матрицу
Обозначая левую часть этого равенства через матрицу S', получим
но это и означает, что матрица В подобна симметричной матрице S. Уже отсюда можно сделать вывод, что собственные значения матрицы В — отрицательные (неположительные), поскольку в противном случае величины p/t) описывались бы выражением, которое стремится к оо при увеличении времени, что невозможно.
{D}ij=Pi5ij-
g,j = b,jPj =bjipi=gji.
(6.67)
имеем
D 2GD2 =D 2BD2
(6.68)
S = D 2ВD2 откуда
В = D2SD 2
(6.69)
Согласно результатам, полученным в данной главе, величину
- pt In pt, можно отождествить с энтропией комплекса. Дан-
i
ный параграф посвящен рассмотрению свойств энтропии, определенной этой формулой с целью подтверждения согласованности этого определения со свойствами энтропии, известными из феноменологической термодинамики.
Прежде всего несложно убедиться, что энтропия — величина вещественная и неотрицательная, причем минимальное значение, равное нулю, она принимает только тогда, когда вероятность одного из состояний комплекса равна единице.
Более сложно доказать, что свое максимальное значение энтропия принимает только для случая, когда вероятности всех состояний комплекса равны друг другу. Для доказательства этого факта [Боровков, 1976] рассмотрим функцию f(x)=xln(x) на отрезке [0, 1 ]. Несложно убедиться, что на этом отрезке функция f(x) выпукла вниз, следовательно, по определению выпуклой
п
функции для любых qt >0 таких, что ^ qt = 1 и для хг >0
/=1
выполняется неравенство
/(*,)•
Полагая в этом соотношении qt =1/п, xt= ph получим
п I
п I
1
~Т,Р, In -Up, ^Z-p.lnp,, (6.71)
Z п
или, учитывая, что У pt = 1 и что - In — = 1п(п), имеем
j г П П
требуемое неравенство
ln(n)>-fJpllnpl, (6.72)
1=1
Докажем теперь свойство аддитивности энтропии комплекса, которое состоит в том, что энтропия комплекса из двух независимых подсистем равна сумме энтропии подсистем. Этот результат легко может быть выведен из аддитивности средней и свободной энергии [см. формулы (6.50), (6.51)], однако мы рассмотрим прямой вывод. Пусть индекс / относится к первой подсистеме, а индекс j — ко второй. Тогда для энтропии комплекса
имеем:
(1) I \
S = -*?P,J InРд =- kZP,Pj \lnp,+lnpj) =
,J ,J (6.73)
п п
= л in рг - Pj in Pj =S\+ s2
1=1 j=i
Здесь в первом равенстве мы воспользовались независимостью подсистем ptj = ptpj.
Если подсистемы зависимы, то энтропия комплекса, вообще говоря, уже не превосходит суммы энтропии подсистем [см., например: Боровков, 1976]. Для доказательства этого факта
п п
предварительно отметим следующее. Если то
/=1 /=1
всегда справедливо неравенство
Zp,lnq,^Zp, 1пр, или <0. (6.74)
Предыдущая << 1 .. 51 52 53 54 55 56 < 57 > 58 59 60 61 62 63 .. 137 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed