Теория управления и биосистемы. Анализ сохранительных свойств - Новосельцев В.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Нелинейности типа «насыщение» характерны для всех уровней организации биосистем; часто встречаются они, например, в механизмах активной регуляции физиологического уровня. Так, ограничены пределы изменения переменных в активных механизмах регуляции дыхания и кровотоков, ограничены пределы максимальной теплоотдачи через испарение, сопротивление со-
судов органов и т. д. Для всех таких механизмов характерна зависимость, показанная на рис. 3.4. Но наличие такой зависимости как раз и означает, что при постоянной структуре системы коэффициент передачи от входа X к выходу Y изменяется с изменением значений переменной X и, следовательно, с изменением значений V и W. На рис. 8.3 приведен характерный пример такой зависимости — изменение гемодинамической проводимости сосудов в ответ на изменение давления крови, свойственное механизмам ауторегуляции местного кровообращения.
Рис. 8.3. Нелинейная зависимость с насыщением а) Зависимость проводимости сосудов от перфузионного давления для механизма ауторегуляции кровотока в лапе собаки, б) коэффициент передачи для этой зависимости
Перемножение переменных характерно для так называемых параметрических связей в системах управления. Их линеаризацию мы рассматривали выше (см. рис. 7.10). И в этом случае структура части линеаризованной системы, замещающей нелинейный элемент в исходной системе, — параллельное соединение двух каналов — остается неизменной, а меняются только значения коэффициентов усиления в этих каналах. Аналогичным образом дело обстоит и для многих других видов нелинейностей (степенные функции, перемножение степенных функций и т. д.).
Следовательно, во всех рассмотренных случаях в линеаризованных системах размерности и вид матриц А, В, S, Р, R, Q на схеме 6.4 не меняются в различных точках (V, W)\ меняются лишь значения их коэффициентов. В частности, коэффициенты передачи от одною элемента схемы к другому могут обращаться в нуль. Это означает, что соответствующий механизм регуляции в таких условиях или не функционирует, отключается, или что он функционирует «па пределе возможностей», так что дальнейшее «ухудшение» условий, требующее интенсификации работы механизма, не приводит к ожидаемому увеличению его выходной переменной. В обоих случаях в линеаризованной модели такой канал как бы «выпадает» из схемы. Ослабление регуляторных свойств канала (или его выпадение) может
L
50 100 150 zoo
50 WO 150 ZOO Р, ммрт. ст.
Ф
привести к образованию гомеостатических кривых, характерных для поведения внутренних переменных состояния организма. Продемонстрируем, как возникает гомеостатическая зависимость на примере простой компартментальной модели.
Рассмотрим схему с двумя компартментами, показанную на рис. 8.4, которой можно дать следующее физиологическое толкование. Независимый темп потока вещества W должен уравновешиваться зависимым темпом Y, который регулируется
Рис. 8.4. Простая модель с параллельными каналами регуляции. Переменная Хх моделирует пассивный канал регуляции темиа потока вещества Y, переменная Я:—активный
канал.
двумя механизмами, активным и пассивным. Эти два механизма характеризуются переменными состояния Xi и Х2 (например, W — темп потребления 02 в тканях некоторого органа в ходе процессов метаболизма, Х\ — концентрация 02 в тканях органа, Х2—кровоток через сосуды, питающие ткань). Возмущающий сигнал V имеет смысл концентрации моделируемого вещества в окружающей среде (в примере — напряжение Ог в крови). Уравнения системы имеют вид
= _L [^w + kx2(V-xl)]l
(8.11)
X2 = -jr[-W + kXa(V-Xif\,
где обозначено k = k\k2. Слагаемое
Y = kX2( V — Xi) (8.12)
имеет следующий смысл: по закону диффузии единица носителя (единица массы крови) уносит из тканей k\{V — Ji) единиц вещества, а весь носитель — в k2X2 раз больше.
Решение уравнения (8.12) в статическом режиме можно получить следующим образом (напомним, что из-за вырожденное™ матрицы системы обычное уравнение (5.50) неприменимо) . В статике, как обычно, Y = W. Если на систему, находящуюся в стационарном состоянии Xi, Х2, подействовало возмущение v, то все переменные перешли в новое стационарное состояние, получив приращения Xi и х2:
откуда при малых хг, находим
J2*i — x2(V-X,)-i»X2 = 0. (8.14)
Сравним приращения Х\ и х2¦ Как в исходном, так и в новом стационарном режиме е = V — W — 0, и поэтому
оо
*1=тг58^*
о
оо
Х2 = -J- ^ е (t) dt
(8.15)
е
77
где символом е обозначен интеграл от e(t)—«накопленная» ошибка. Подставляя (8.15) в (8.14), получаем
„__.._____Т\ТгХг_____ . „ч
е V Ti(Xl-V)+TiXi ' (8Л6)
(8.17)
Тогда
Xi ==? aT2v,
х2 = аТ it», где
а = const = Г( (Jr> _у) + тл • (8.18)
Соотношения (8.17) имеют важный смысл: если активная цепь регуляции обладает значительно большим быстродействием, чем пассивная, Т2 <?. Ти то сдвиг х2 переменной Х2 активной цепи регуляции много больше, чем сдвиг хх пассивной переменной Х\\
