Теория управления и биосистемы. Анализ сохранительных свойств - Новосельцев В.Н.
Скачать (прямая ссылка):
кровотока Q и альвеолярной вентиляции V от степени снижения процентного содержания кислорода во вдыхаемом воздухе С. Размерности величии следующие: HbO*, Н (измеряется по правой шкале), р02 — мм рт. ст. (оба напряжения измеряются по правой шкале); Q и У — % от нормы (измеряются по левой шкале); 6) показатель А, вычисленный в функции С; кривая /—а (С), кривая 2—показатель hx (С), вычисленный по формуле (8 5); кривая 3 — показатель h2, вычисленный по формуле (8 7) при а=1.
выражения. Действительно, недостатком формулы (8.5) является, по-видимому, относительно сильная зависимость показателя h от ошибки измерения в области малых значений а. Так, если величина а определена с погрешностью А а, то ошибка в вычислении h, равная Ah, составит
ДА=-§1д<х=--1-Да; (8.6)
при малых а погрешность Дh может быть очень большой. Если учесть, что малые а соответствуют хорошему гомеостазу, то ясно, что формула (8.6) будет давать большие ошибки именно в наиболее важных для исследователя случаях.
Кроме того, обратно пропорциональная зависимость h от а неудобна еще и потому, что при относительно больших значениях а в практически интересных случаях убывание h на границах области гомеостаза оказывается недостаточно быстрым.
Поэтому для практических задач можно рекомендовать и
другие зависимости. Например, показатель
h= . } (8.7)
1 + а а2 ' '
лишен указанного недостатка и, кроме того, нормирован:
0<А<1 (8.8)
при изменении а от оо до 0.
Величина а в знаменателе позволяет по-разному оценивать влияние а на показатель гомеостатических свойств. Значение h = 1 достигается при а = 0.
Пример 8 1.1. Определим в качестве иллюстрации гомеостатическую способность системы снабжения организма кислородом на основе данных, приведенных в работе [95]. Зависимость пяти переменных этой системы от процентного содержания кислорода во вдыхаемом воздухе изображена на рис. 8.2, а.
Предложенная выше методика определения h удобна для случая измерения переменных состояния системы В данном примере модели системы нет, и поэтому приходится сделать допущение, что величины, представленные на рис. 8.2, а, служат переменными состояния некоторой модели системы кислородного снабжения Тогда можно применить формулы (8.2) и (8.5) или (8.7).
Введем безразмерные переменные, выбрав соответствующие масштабные коэффициенты. В качестве масштабов выберем значения переменных при нор-
Q
мальных условиях (С = 20). Обозначим v = ~20>
г ,гл НЮ2 (С) ньо»
НЬО,1с„20 95
р.О, р О,
х2 (С) = ~|б~ ’ (С> = ~k~ • <8-9)
х* ^ = Too’’ *5 ^ = ТооГ*
0 X
Тогда, например, для значения производной —^ в точке v = 1 получаем
<3*1
dv
20 НЬ021с=20 — НЬОг |с=[6 ^
„-I ~ «5 16-20 “ ’
Абсолютные значения производных в зависимости от v даны в табл. 8.1.
с дх, дх* дх <1к дх=, i н ft,
dv dv dv dv dv
20 0,27 0,87 0,16 1,00 0,20 0,6 2 1,63 0,72
16 0,54 1,00 0,83 1,90 0,41 1,08 0,93 0,53
12 1,27 1,62 1,00 2,‘21 1,19 1,45 0,69 0,32
10 1,47 1,75 1,16 2,49 4,00 2,40 0,42 0,15
8 1,68 1,75 1,33 3,00 5,00 2,91 0,34 0,06
В таблице показатель /г, вычисляется по (8 5), показатель /г2 — по (8 7) при а = 1. Нормировочные коэффициенты в формуле (8 2) а,, = 1. Зависимости h\(C) и h2(C) приведены на рис 8.2,6.
8.2. Гомеостаз нелинейных систем. Гомеостатическая кривая
При исследовании гомеостатических свойств нелинейных компартментальных моделей мы можем провести линеаризацию уравнений системы так, как это показано на рис. 6.4. Если в исходной системе существует стационарный режим, то в рассматриваемом случае он существует и в линеаризованной системе. Наиболее важное для нас отличие нелинейного случая от линейного состоит в том, что при линеаризации системы при разных условиях внешней среды (различные V и W) матрицы А, В, S, Р, R и Q на рис. 6.4 оказываются различными; в частности,
A = A(V,W), B = B(V,W), (8.10)
где V и W означают, как и ранее, условия внешней среды и режим функционирования нелинейной модели биоспстемы, V и W меняются в некоторой области рассматриваемых значений:
V е Qy, W ?= Qw-
Особенно часто в биосистемах приходится сталкиваться с нелинейностями двух типов: параметрическими связями (например, умножением переменных) и насыщением. Покажем, что при линеаризации оба эти типа нелинейности приводят к тому, что структура линеаризованной модели (вид описывающей ее матрицы) остается неизменной во всех точках областей Qv, но элементы матриц могут меняться в разных точках (К, W).