Теория статистических решений и психофизика - Леонов Ю.П.
Скачать (прямая ссылка):
входящего в (5.1).
Точки РХ в правом верхнем углу соответствуют высокому вознаграждению cNn за правильное решение о шуме. В этом случае значение согласно (5.3) уменьшается. Так же как и раньше, теоретическая РХ в опыте с переменными ценами хорошо совпадает с экспериментальными точками для нормальных функций / (x/s) и / (х/п) при условии 0S = ап = а и d! = 0,850.
§ 2. Сравнение решении наблюдателя с оптимальными решениями
При сравнении решений наблюдателя с оптимальными бейе-совскими решениями (наиболее общими из известных решений) трудно ожидать совпадения его порогов X* с оптимальными значениями порогов А0, полученных в формуле (5.1). Если даже принять, что решающее правило наблюдателя есть бейесовское решаго-
А*
щее правило и порог наблюдателя определяется по формуле
(5.1), то еще остается неясным, соответствуют ли субъективные цены и априорные вероятности наблюдателя ценам и априорным вероятностям формулы (5.1).
Для проверки этого соответствия сравнение с оптимальными решениями представляется весьма интересным. На рис. 5.2 приведены оптимальное Х0 и на-
Рис. 5.2. Сравнение порога наблюдателя *
>- с оптимальным порогом Х0
1 — изменение вероятностей; 2 — изменение цен
блюдаемое к* значения порогов. Порог к* оценивается по РХ, построенной экспериментально, и равен тангенсу угла наклона касательной РХ в точке а. Оптимальное значение к0 оценивается по формуле (5.1). При этом предполагается, что «субъективные» цены и вероятности, входящие в (5.1), связаны с действительными ценами и вероятностями линейно. Например, для субъективных вероятностей должно иметь место соотношение
gs* = kqs, qn. = кдп. (5.4)
В этом случае порог Я0 не зависит от к.
Сравнивая пороги рис. 5.2, можно заметить, что решения наблюдателя отличаются от бейесовских оптимальных решений. Различие порогов больше заметно при больших и малых значениях порога Я0. При средних значениях (Я0 1,00) различие незна-
чительно. Таким образом, наблюдатель пытается избежать крайних оптимальных значений порога. Различие между порогом к0 и порогом Я* наблюдателя является важным экспериментальным фактом. Оно может быть следствием трех причин: а) либо наблюдатель вообще не следует оптимальному правилу решения к (х) ^ ^ Я0; б) либо наблюдатель следует этому правилу, однако значения цен и априорных вероятностей наблюдателя не равны относительным ценам и априорным вероятностям в (5.1); в) либо апостериорные вероятности / (x/s), / (х/п) наблюдателя не соответствуют апостериорным вероятностям, входящим в к (х).
§ 3. Асимметрия рабочих характеристик
Рабочие характеристики могут быть асимметричными отно сительно диагонали с отрицательным наклоном, как, напри мер, на рис. 5.3. В этом случае РХ можно аппроксимировать раз личными кривыми. В частности, вместо нормальных функций плот
ности вероятности f(x/s), f(x/n) можно использовать экспоненциальные плотности вероятности или плотности вероятности Ре-лея. Однако можно сохранить нормальные плотности вероятности для / (x/s), / (х/п) и подобрать для них соответствующие значенияпараметров Д m=ms—mn, д а = as — ап.
В случае асимметрии среднеквадратичные значения as и ап уже нельзя предполагать равными. В частности, экспериментальные точки на кривой рис. 5.3 хорошо аппроксимируются РХ с
pfS/sJ
pfS/n)
Рис. 5.3. Асимметричная РХ
параметром Ат/Ао = 4. При этом 0S ап и А0 0. Значение параметра Ат равно 1,35. Интересно, что отношение Ат/Ао — 4 дает хорошую аппроксимацию для большого числа экспериментальных данных (хотя этот факт является, конечно, чисто эмпирическим). Так, например, в случае идеального наблюдателя получается симметричная РХ, когда наблюдатель имеет полную информацию о сигнале s (t). В случае неполной информации о сигнале РХ оказывается асимметричной. Для значений параметров Ат — 1,35 и Ат/Аа = 4 отношение правдоподобия X (х) остается монотонной функцией х.
§ 4. Использование рабочих характеристик,
построенных в вероятностном масштабе
Как показано в главе 4, для перехода к вероятностному масштабу можно использовать уравнение (4.16). Однако иногда пользуются уравнением, близким к (4.16). Оно также приводит к линейной РХ, отличающейся лишь знаком постоянной от уравне-
! . ния (4.19):
z{Sls)=^z{S/n)-^,
s us
-г
(5.5)
где Ат = ms — тп.
-/ Это — уравнение пря-
мой с коэффициентом s ~ =0H/0S и параметром Ат= = ms — mtl. Рабочие ха-ff рактеристики, построенные в вероятностном масштабе для случаев, приведенных на рис. 5.1 и ^ рис. 5.3, даны на рис. 5.4. Пользуясь ими, удобно проверять гипотезу о гауссовости функций / (x/s), / (х/п) и определять параметры РХ. Прямые (5.5) характеризуются двумя параметрами — Ат „ , „ „ . и s (наклон), обозначав-
1 — первый наблюдатель: 2 — второй наблюдатель гч / а \ тт
мыми D (Дт, s). Для пер-вого наблюдателя s = 1 и Am = d' = 0,850, для второго наблюдателя (асимметричная РХ) 1/s— 1,33. Следовательно, 0S = 1,33 (0„ — 1). Для Ат /Аа = 4 и А0 = 0,33 имеем Ат = 1,35.
