Теория статистических решений и психофизика - Леонов Ю.П.
Скачать (прямая ссылка):
1 Е. С. Molina. Poisson’s exponotial binomial limit. N. Y. Krieger Publishing Co, 1973.
Для РХ процесса Пуассона нельзя ввести параметр d', аналогично тому, как он был введен для РХ, построенных с использованием нормального распределения в случае crs = ап = а. Действительно, пусть полезный сигнал s и шум п являются независимыми пуассоновскими процессами с параметрами vs и vn. Наблюдается сигнал х = s + п, который также имеет пуассоновское распределение с параметром v = vs -f- v„. Математическое ожидание и дисперсия процесса X равны:
m = v = V, + v„, а2 — ve + vn.
Таким образом, распределения р (x/s) и р (х/п) имеют разные дисперсии. В этом случае определяют параметр da следующим образом [10]:
d = 8 п “ W'1' '
Для нашего случая имеем
V -L -у -V V
d = , «Ц.П------П = ---------S---- _ (4 57)
l(v. + vn) vn] [(v. + vn)vnV'‘
Определенный таким образом параметр dn обладает свойством сохранять свое значение на одной РХ, хотя при этом пары величин vs и vn могут иметь для зтой РХ разные значения. Как увидим дальше, благодаря этому свойству параметр da может служить аргументом М-функции, характеристики, эквивалентной РХ. Если vn vs, то параметр da приближенно равен dn^vs/)/vn. (4.58)
Последнее выражение известно под названием «закон квадратного корня». Оно замечательно тем, что vs/yrvn= const соответствует максимальное приращение Av — vs — vn, обнаруживаемое с заданными вероятностями р (S/s) и p(S/n).
Последний вопрос, который будет рассмотрен в этом параграфе, относится к распределениям, связанным с распределением Пуассона. Как указывалось, существуют непрерывные величины, связанные с числом импульсов на интервале (0, Т). Эти непрерывные величины могут также использоваться для проверки тех или иных гипотез о распределении Пуассона. Более того, часто использование таких величин упрощает решение задачи, так как вычисление соответствующих характеристик этих величин оказывается более простой задачей.
Как уже отмечалось, важной непрерывной величиной, характеризующей пуассоновский процесс, является случайный интервал времени t, в котором появляются г импульсов. Случайная величина t имеет плотность (4.51). Часто вместо дискретной величины X, числа импульсов в интервале, для проверки гипотез значитель-
но проще йбпоЛьзовать непрерывную величину t. При этом параметр ^ гамма-распределения (4.51) можно оценивать, подсчитывая среднее число импульсов в интервале (О, Т).
Отношение правдоподобия для пары плотностей (4.51) с параметрами [is и [in имеет вид
^ (0 = (lvVn)r ехр l—t (fi, — цп)], (4.59)
где \is <\in\ t> 0.
к (х) является монотонно убывающей функцией t. Следовательно, между порогом Я0 и порогом на оси стимула t* существует взаимно-однозначное соответствие. Максимальная величина отношения правдоподобия равна (ц.8/М-пГ> т. е. равна порогу Я0 принятия решения в точке (0, 0) па РХ.
Минимальная величина порога к0, очевидно, равна нулю и достигается в точке (1,1) на РХ.
Рассмотрим РХ, соответствующие функции к (t), определенной в (4.59), для частного случая г = 1, когда плотность (4.51) является экспоненциальной. Для вероятностей попадания и ложной тревоги
I*
р (S/s) = ^ ехр (— ц,*) dt, р (S/n) = § ехр {— fiftf) dt,
о о
где t* — порог принятия решения. Откуда после вычислений получаем
р (S/s) — 1 — ехр (—р (S/n) = 1 — ехр (— |xj*).
Исключая из этих выражений t*, получаем явное уравнение РХ в виде
р (S/s) = 1 - [1 - р (S/n)f^n. (4.60)
Таким образом, использование непрерывного параметра t значительно упрощает решение задачи проверки гипотез для распределения Пуассона.
Глава 5
РАБОЧИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ НЕЙРОННЫХ СИСТЕМ
§ 1. Различные методики эксперимента для построения рабочих характеристик
Построение РХ нейронных систем существенно отличается от их определения для технических устройств. Отличие состоит в следующем.
При построении РХ какого-либо технического устройства, например оптимального детектора сигналов, все характеристики детектора заранее известны конструктору; к ним относятся апостериорные плотности / (x/s), / (х/п), порог А,0, который будет использоваться в детекторе, а также значения параметра d' = = А т/а. При зтих условиях РХ детектора определяется уравнениями (4.14) и (4.15). Разумеется, в уравнениях (4.14), (4.15) должны использоваться апостериорные плотности, заданные конструктору детектора. Параметр d' определяется в соответствии с его выражением
где все величины ms, тпша известны конструктору детектора. Как правило, а относится к внешнему источнику шума, с которым смешивается полезный сигнал. Назначение детектора в этом случае состоит в том, чтобы наилучшим образом обнаружить полезный сигнал s в сигнале х = s + п. Следовательно, построение РХ такого детектора не представляет каких-либо трудностей. Эта задача является скорее теоретической, чем экспериментальной.
