Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Леонов Ю.П. -> "Теория статистических решений и психофизика" -> 18

Теория статистических решений и психофизика - Леонов Ю.П.

Леонов Ю.П. Теория статистических решений и психофизика — М.: Наука, 1977. — 223 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyastatisticheskih1977.djvu
Предыдущая << 1 .. 12 13 14 15 16 17 < 18 > 19 20 21 22 23 24 .. 95 >> Следующая

Простейшая и вместе с тем наиболее важная дискретная случайная величина связана с испытаниями Бернулли [10]. Проводится т независимых испытаний, в каждом из которых случайная величина X может принимать значение х ¦= 0 с вероятностью р или значение х = 1 с вероятностью q = 1 — р.
Случайной величиной в к-м опыте является Хк {0,1}. За случайную величину Y в т опытах принимается число появившихся единиц.
Последовательность испытаний Бернулли одновременно порождает «дискретный» случайный процесс. Выборочная функция такого процесса состоит из последовательности «нулей» и «единиц».
Очевидно,
Величина Y может принимать значения 0, 1, 2т.
Вероятности значений величины Y определяются формулой
где Cm — число сочетаний из т элементов по п, равное С"г = = т\1п\ (т — п)\
При задании биномиального распределения (4.31) необходимо знать число испытаний т и вероятность успеха р в каждом испытании. Эти величины указаны справа от черты под знаком вероятности в (4.31).
Для того чтобы понять, как определяются отношение правдоподобия и РХ дискретной случайной величины, удобно рассмотреть частный случай испытаний Бернулли, когда т = 1. Итак, имеется случайная величина X, принимающая значения 0 и 1 с вероятностями р (0) = q и р (1) = р.
При построении РХ примем, что распределения р (X/ps) и р (Х/рп) соответственно при наличии сигнала и шума определяются формулами
m
Р (Y = п/т, р) = CnmPnqm-n,
(4.31)
при X — 1, при х = 0,
при X = 1, при х = 0.
(4.32)
Отношение правдоподобия случайной величины X определяется уже известной формулой
Я, (X) = р {X/ps)/p (Х/рп). (4.33)
Следовательно, К (х) имеет два значения:
Г qjqn пРи х = О,
I Ps/Pn при х — 1.
ЧХ)=
(4.34)
Отношение правдоподобия К (X) равно тангенсу угла наклона касательной к РХ. Отсюда следует, что РХ случайной величины
pfS/jl
pfS/n)
p(S/n)
Рис. 4.6. РХ, относящиеся к схеме Бернулли
а — РХ для последовательности испытаний Бернулли; б -распределения
РХ для геометрического
состоит из двух прямолинейных отрезков с наклонами pjpn и qjqn соответственно. Если к этому условию добавить непрерывность РХ, то этого оказывается достаточным для ее построения. РХ имеет вид
P(S/s) = -^-p(S/n) для 0<p(1S'/«)<Jpn,
Г п
(4.35)
Р (S/s) = P(S/n) + -s -Рп для pn<P(S/n)<l.
ч п Ч-П
РХ для т. = 1, ps = 0,7 и рп = 0,3 показана на рис. 4.6, а.
Таким образом, РХ для дискретной случайной величины является непрерывной функцией, состоящей из прямолинейных отрезков. Число отрезков, составляющих РХ, равно числу значений отношения правдоподобия (4.34). В частности, на рис. 4,6, а РХ состоит из двух отрезков. РХ в общем случае имеет к — 1 угловую точку на интервале (0, 1), где к — число возможных
значений функции к (х). На рис. 4.6, а имеется одна угловая точка (ps, рп), так как к = 2.
В дальнейшем мы увидим (глава 6, § 3), что РХ биномиального распределения для пл = 1 описывает восприятие слабых сигналов, в теории низкого порога.
Если в уравнениях (4.35) рп устремить к нулю, то можно получить РХ теории высокого порога (см. § 2). Наклон первого отрезка РХ (первое уравнение (4.35)) становится бесконечным, в то время как уравнение второго отрезка (второе уравнение (4.35)) принимает вид
р (S/s) = (1 — ps) р (S/n) -1- ps. (4.36)
Ввиду важности уравнений (4.35) приведем их прямой вывод, основываясь на определении вероятности попадания и вероятности ложной тревоги.
Рассмотрим задачу различения двух биномиальных распределений р (x/ps) и р (х/рп) для случая, когда т =1.
Если для решения использовать отношение правдоподобия (4.33) и порог Х0, то для вероятности правильного решения (вероятности попадания) можно записать (см. (2.3'))
Р (S/s) = 2 ?№),
Х(ж)>Хо
а для вероятности неправильного решения (вероятности ложной тревоги) (см. (2.2')) —
piS/ri)=* 2 р(Фп)-
1 ’ Х(сс)>Ло
Если принять в (4.34) ps > рп, то отношение правдоподобия возрастает с увеличением х. Тогда вероятности попадания и ложной тревоги можно записать в виде
Р (S/n) — 2 Р(*/Рп), (4.37)
Х$>Х*
где х* — пороговое значение стимула, при котором принимается решение. Вероятности р (x/ps) и р (х/рп) равны
О при хфО, 1,
Р (х/Рп)
Р (S/s) = 2 p(x/ps),
Х$>Х*
р(ф,) =
при хф 0, 1, при х = О, при х — 1,
Чп
Рп
при х = О,
при X = 1.
(4.38)
Используя (4.38), вероятности попадания и ложной тревоги (4.37) можно записать в виде
Р (S/s)
Р (S/n) =
0 при 1<; с‘< оо,
Ps при
1 при ---¦ оо
Предыдущая << 1 .. 12 13 14 15 16 17 < 18 > 19 20 21 22 23 24 .. 95 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed