Теория статистических решений и психофизика - Леонов Ю.П.
Скачать (прямая ссылка):
Однако помимо дискуссионной стороны дела появляются практические трудности, связанные с измерением порога х*.
Считалось принятым определять х* как значение стимула, при котором р (S/s) = 1/2 (или р (S/s) = 3/4). Однако вопрос о существовании порога х* порождает другой вопрос: «Что означает величина х*, измеренная таким образом? И как ее можно использовать?»
Последний вопрос может привести к неожиданному решению проблемы порога, если обратиться к теории статистических решений. Как было показано ранее, теория решений однозначно определяет характеристику детектора. Такой характеристикой является семейство РХ, зависящих от параметра d'. С другой стороны, в психофизике исчерпывающей характеристикой является семейство психометрических функций, зависящих от вероятности ложной тревоги р (S/n). Эти характеристики неэквивалентны. В то время как РХ, в соответствии с теорией решений, дают исчерпывающее описание детектора, психометрическая функция дает лишь неполное описание детектора. Она содержит скрытые параметры (дисперсию а2), зависящие от собственных шумов нейронной системы. Рассматривая семейство РХ (рис. 4.3), можно заметить, что для заданной вероятности ложной тревоги а0 р (S/s) зависит от параметра d'. В этом также легко убедиться, используя нормальную аппроксимацию плотностей / (x/s) и / (х/п).
В простейшем случае параметрические уравнения РХ имеют
вид
(X* - 771 ) Л т
0*=^--------21 и
а а
то их можно записать тж:
р (S/s) — erfc (0* — d'), р (S/n) = erfc (3*. (0.1 j
Уравнения (6.1) определяют РХ в зависимости от уже известного параметра d' = Ат/а.
В частном случае ms = s и тп = 0, d' = s/a. Из первого уравнения (6.1) видно, что вероятность р (S/s) определяется относительной величиной полезного сигнала d' (относительно внутреннего шума системы).
Параметр 0* может быть определен из условий: р (S/n) = = се0, d' — 0* и р (S/s) — 1/2. Следовательно, 0*, так же как х*, является порогом. Однако между х* и 0* имеется существенное различие: порог 0* учитывает собственный шум системы, в то время как х* не зависит от него.
Характеристика (6.1), называемая в дальнейшем М-функцией, полностью описывает восприятие слабых сигналов. С другой стороны, такое описание представляется также РХ. Отсюда следует, что между РХ и М-функцией должна существовать связь. Эту связь устанавливают уравнения (6.1). Паре значепий р (S/s) и р (S/n) согласно (6.1) соответствуют определенные значения 0* и d'. Если d' = const, то, как это видно из уравнения (6.1), значения р (S/s) и р (S/n) принадлежат одной РХ. Если р (S/n) = = const, то первое уравнение (6.1) определяет М-функцию.
Более важной является зависимость между опытной РХ решения и ей соответствующей М-функцией. Имея такую зависимость, можно переходить от одной кривой к другой, не производя аппроксимацию экспериментальных кривых. Эту связь легко понять на основании рис. 6.2. Пусть, например, требуется по РХ определить соответствующую М-функцию. Для этого на семействе РХ, показанных слева на рис. 6.2, проводится вертикальная прямая р (S/n) = = а. В точках ее пересечения с РХ считываются вероятности р (S/s). Соответствующие значения d' считываются на РХ. Справа на рис. 6.2 изображена построенная М-функция р (S/s) = <p (d').
Если требуется совершить обратный переход от М-функции к РХ, то следует воспользоваться семейством М-функций (слева на рис. 6.3) для различных значений вероятности р (S/n), определяемых в точке пересечения М-функций с осью ординат. Это построение ясно из рис. 6.3.
Связь между РХ и М-функциями можно успешно использовать для анализа нейронной системы. Некоторые стороны процесса решения лучше заметны при использовании М-фупкции. Это относится, например., к зависимости вероятности р (S/s) от относительной интенсивности сигнала d', которую можно проследить по одной
М-функции. С другой стороны, для выяснения зависимости р (S/s) от р (S/n) требуется семейство РХ.
Однако следует заметить, что семейство РХ полностью эквивалентно семейству М-функций.
При построении М-функции важно правильно выбрать ее аргумент. В простейшем случае нормальных распределений с одинаковыми дисперсиями аргументом М-функции, как видно из уравнений (6.1), является параметр d'. Однако уже в случае нормальных распределений с разными дисперсиями as и ап параметр d' нельзя использовать в качестве аргумента М-функции.
Для выбора аргумента М-функции следует использовать эквивалентность М-функции РХ. При этом для одной РХ аргумент М-функции сохраняет постоянное значение.
pfS/s)
p(S/s)
Так, в случае нормальных апостериорных плотностей / (xls) и / (х/п) с разными дисперсиями для выбора аргумента М-функ-ции удобно перейти к РХ в вероятностном масштабе. Из уравнения (5.5) предыдущей главы можно заметить, что в случае а, Ф Ф оп РХ зависит от двух параметров: ц, = aJon и ds = Ат/а, = = (т, — mn)/os.
Таким образом, если в качестве аргумента М-функции выбрать параметр d's, то следует рассмотреть семейство М-функций, зависящих от параметра |л. Параметр ds можно использовать как аргумент М-функции для распределения Пуассона (глава 4, § 4).
