Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Леонов Ю.П. -> "Теория статистических решений и психофизика" -> 19

Теория статистических решений и психофизика - Леонов Ю.П.

Леонов Ю.П. Теория статистических решений и психофизика — М.: Наука, 1977. — 223 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyastatisticheskih1977.djvu
Предыдущая << 1 .. 13 14 15 16 17 18 < 19 > 20 21 22 23 24 25 .. 95 >> Следующая

'0 при 1< X* <[ оо,
Рп при П< 1,
1 при - (X
(4.39)
Из уравнений (4.39) находим
p(S/s)=—p(S/n) для 0<^.г*<^1 Рп
Р(ВД ='’, + ?,= ! ) дл„ -оо<х-<0.
p(S/n) = рп+ qn = 1 J Из последних двух уравнений имеем
О <7 п — (1 п
p(S/8) = ±-p(S/n)+ lJn
Чп или
' p(s/S) = ^p(s/») + ^V^.
”п *п
Решение р (S/s) = р (S/n) для — оо <; х* ^ 0, которое также следует из двух последних уравнений, приводит к разрывной РХ в точке р (S/n) = р„.
Таким образом, мы вновь получили уравнения (4.35). При выводе этих уравнений не использовалось понятие оптимальности. В частности, мы нигде не использовали какие-либо оптимальные стратегии в задаче различения биномиальных распределений (4.38). Тем не менее РХ (4.35) сразу приводит нас к оптимальным стратегиям. Непосредственно видно, что для заданной вероятности ложной тревоги нельзя получить большей вероятности попаданий, чем значение р (S/s), определяемое на полученной РХ. Следовательно, такое решение будет оптимальным по критерию Неймана — Пирсона. Таким образом, РХ определяет предельные возможности решения для заданных распределений (4.38). Для того чтобы отметить это свойство РХ, иногда говорят о истинной (proper) РХ решения в отличие от других решений, для которых РХ лежит ниже истинной РХ. Такие РХ иногда называют неистинными (improper) [10].
Рассмотрим теперь отношение правдоподобия и РХ для биномиального распределения при т 1. Отношение правдоподобия согласно (4.31) и (4.33) имеет вид
Гх / \тт1 / _ _ \ X
Ш- '¦ ...................-=• <4“>
Функция Я (х) определена только для дискретных значений. Число значений % (х) не превосходит числа значений, принимаемых случайной величиной х. Если ps > рп, то К (х) является монотонно возрастающей функцией х.
Из (4.40) следует, что между порогом Я0 отношения правдоподобия и порогом х* существует следующая зависимость:
111 А.0 + т In {q Jq )
1 "(Ps4jPn4$)
где ps > рп. Если из уравнения получается нецелое значение х*, то за порог принимается первое целое число, большее зпачения, определяемого уравнением.
Так как отношение правдоподобия X (х) является монотонно возрастающей функцией х, то решение на шкале отношения правдоподобия, принимаемое согласно правилу
% (х) Х0,
эквивалентно решению, принимаемому на основании правила
х х*.
Рассмотрим случай, когда Я0 = 1 и рп = const. Если ps -v
—рп, то х* становится неопределенным выражением вида 0/0. С другой стороны, если ps 1, то х* становится неопределенностью вида оо/оо. Исследование этих крайних случаев показывает, что когда рs = Рп, то порог х* = трп, т. е. равен математическому ожиданию биномиального распределения. Если же ps = 1, то х* = т, т. е. порог равен числу независимых испытаний.
РХ решения, соответствующая отношению правдоподобия (4.40), аналогично случаю т = 1 является полигоном, состоящим из т + 1 линейного отрезка. На рис. 4.6, а показаны РХ для случаев т = 2. т = 4, ps = 0,7 и рп = 0,3.
РХ в случае биномиального распределения определяется следующими параметрическими уравнениями:
P (S/s) = 1 - Х'-? CxmpxsqTX, Р (S/n) = 1 - "а СхтрхпдТ\
х=0 ?=0
(4.41)
которые отличаются от уравнений (4.37) лишь тем, что вероятности р (S/s) и р (S/n) выражены через вероятности противоположных событий, х* в (4.41) является параметром (порогом принятия решения). На основании (4.41) можно получить различные семейства РХ, изменяя или т, или вероятности р$ и рп при постоянном т.
Исключить параметр х* из уравнений (4.41) так, чтобы получить явное уравнение РХ, аналогичное (4.35), нельзя, так как эти уравнения достаточно сложны. Поэтому для построения нужно использовать либо таблицы биномиального распределения для вычисления сумм в (4.41), либо нормальное приближение биномиального распределения.
Рассмотрим случай, когда используется нормальное приближение для построения РХ. Точность нормального приближения возрастает при тп -у оо и р — const. Это естественно, так как нормальное распределение получается как предельное из биномиального при m —»- оо. Нормальная аппроксимация является очень хорошей, когда порог близок к среднему значению и т. 10. Для получения приближенной формулы вводится нормированная слу-
чайная величина, связанная с величиной х, распределенной по биномиальному закону
х — тр
Zs ---------. (4.42)
(mpsqs)h
Случайная величина Zs распределена асимптотически нормально с параметрами N (0, 1). Заменяя в (4.41) сумму интегралом, получим
X*—1+Шр .+0,5
Х%СхтркГх^(2л)
х=0
1 <m2W'
1 S
mps
Предыдущая << 1 .. 13 14 15 16 17 18 < 19 > 20 21 22 23 24 25 .. 95 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed