Теория статистических решений и психофизика - Леонов Ю.П.
Скачать (прямая ссылка):
ехр
Половина в верхнем пределе интеграла связана с аппроксимацией суммы интегралом. Пользуясь этим соотношением, можно представить (4.41) в виде
х* — 1 -|- тр +
p(S/8) = 1-Ф
р (S/n) = 1 — Ф
(mPs<if* х* — 1 + трп-{- 0,5
(тРп%У
Чг
(4.43)
где Ф — функция Лапласа, таблицы которой имеются в конце книги.
Вероятности попадания и ложной тревоги могут быть выражены также через функцию erfc (х), использованную в уравнениях (4.14), (4.15).
Пользуясь соотношением erfc (х) + Ф (ж) = 1, можно записать уравнения (4.43) в виде
р (S /s) = erfc
х* + mps + 0,5
(mPA)
Ч 2
p(S/n) = erfc
x + mPn + °>5 (тРп^)Ч‘
Схема независимых испытаний Бернулли связана не только с биномиальным распределением. Она приводит к целому классу важных распределений. Здесь мы познакомимся также с геометрическим распределением, являющимся частным случаем отрицательного биномиального распределения, называемого еще распределением Паскаля. Распределение Паскаля определяет вероятности числа испытаний, необходимых для достижения г «успехов», и имеет вид [10]
p(x/rp) = <?x-iprqx~r, где ос — г, (г + 1), .. . (4.44)
Формула определяет вероятность того, что при х испытаниях будет достигнуто г успехов. Число г фиксировано в каждом
эксперименте. Математическое ожидание величины X М (X) = г/р.
Дисперсия величины X равна D (X) = rq/p\
Геометрическое распределение получается из отрицательного биномиального распределения при г — 1. Оно имеет вид
Р (р/р) = РЧX_1 {х = 1, 2,...),
где р — вероятность успеха в одном испытании. Отношение правдоподобия для геометрического распределения определяется формулой
Если ps рп, то Я (х) — монотонно убывающая функция х. Следовательно, между х и Я (х) имеется однозначное соответствие. Однако решающему правилу
X (х) > Я0 и Я (х) <С Я0 уже соответствует «обратное» решающее правило
X ^ X* И X X*.
Рассмотрим РХ для геометрического распределения. Параметрические уравнения РХ имеют вид
где х* — порог принятия решения (параметр). РХ, определяемые уравнениями (4.46), приведены на рис. 4.6, б для значений ра =
РХ является полигоном, причем первая точка, соединенная прямолинейным отрезком с началом, имеет координаты (рп, ps). Наклон первого прямолинейного отрезка дает максимальную величину отношения правдоподобия.
Однако наиболее важным распределением, связанным с испытаниями Бернулли, является распределение Пуассона. Оно получается из биномиального, когда число испытаний т неограниченно возрастает, а вероятность р стремится к нулю, так что величина v = тр (4.47)
остается постоянной.
Таким образом, распределение Пуассона является хорошим приближением биномиального распределения, когда число т достаточно велико, а р достаточно мало. Можно считать, что на
(4.45)
X*
р (S/s) = S раТ1 =
(4.46)
= 0,4, ps = 0,8 и рп= 0,1.
интервале времени (О, Т) имеется последовательность импульсов. Тогда предположение о том, что m оо может означать либо увеличение интервала (О, Т), либо увеличение плотности импульсов v при заданном Т.
При рассмотрении процесса во времени предположение о том, что р 0, имеет следующую простую интерпретацию. Пусть в интервале (О, Т) случайно располагаются тп импульсов. Если в интервале появляется только один импульс, то предполагается, что вероятность попадания импульса в интервал At — t2 — <1 равна At/Т. Положим At/T равным вероятности р положительного исхода в одном опыте, т. е. р — At/T.
Если число импульсов тп имеет порядок тп ~ Tv/At (v = const), то при тп—уоо р-у 0, т. е. выполняется основное предположение для распределения Пуассона. Далее, если в интервале (О, Т) располагаются тп импульсов, то вероятность иметь х импульсов в интервале At примем равной C*np*qm-X, где р = At/T.
Пусть теперь Т оо и при этом mp = v. Тогда для больших т и малых р вероятность иметь х импульсов в интервале (О, Т) оказывается равной
где v — среднее число импульсов в интервале (О, Т).
Последнее выражение известно под названием «распределение Пуассона». На рис. 4.7, а показаны значения вероятностей, подсчитанные по формуле (4.48) для v = 4 (сплошные линии) и v = 6 (пунктирные линии). В отличие от биномиального распределения число х в (4.48) может быть бесконечно большим.
Важным параметром распределения Пуассона является v — среднее число импульсов в интервале (О, Т). Иногда также вводится параметр ц. — v/Г, равный средней интенсивности следования импульсов, т. е. числу импульсов в единицу времени. Тогда
Рассмотрим элементарные характеристики процесса Пуассона. Математическое ожидание числа импульсов в интервале (О, Т), по определению, равно
М (X) = v.
Дисперсия величины X равна также v:
D (X) = v.
Имеется простая рекуррентная формула, связывающая значения вероятностей р (х/\) для последовательных значений х. Имеем
х ехр (—\)vx/x[ = v ехр (—vjv*'1/ (х — 1)!
