Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Леонов Ю.П. -> "Теория статистических решений и психофизика" -> 21

Теория статистических решений и психофизика - Леонов Ю.П.

Леонов Ю.П. Теория статистических решений и психофизика — М.: Наука, 1977. — 223 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyastatisticheskih1977.djvu
Предыдущая << 1 .. 15 16 17 18 19 20 < 21 > 22 23 24 25 26 27 .. 95 >> Следующая

Откуда
хр (x/v) = vp \(х — l)/v]
p(x/v) = exр(—v)-jp (х = 0, 1, 2, ...),
(4.48)
v = \iT.
(4.49)
или
р (xh) = vp [(ж — i)vVx, (х = 1, 2, . . .).
Пользуясь этой формулой, можно получить р (1/v) = vp (0/v), р (2/v) = vp (l/v)/2 = vap(0/v)/2, p (ж/v) = vxp (0/v)/x! = exp (—v)vT/x!
Функция распределения (интегральный закон) для процесса Пуассона на основании рекуррентной формулы может быть записана в виде
Значения вероятностей р (х/х), как легко видеть, являются
F И - exp (— v) (l + v + + -щ- + • ¦ • + ^
X
Рис. 4.7. Характеристика процес-са Пуассона
г7 в
а — значения вероятностей для распределения Пуассона: vn = 4
(сплошные линии) и vg = 6 (пунктирные линии); б — отношение правдоподобия; в — РХ для v = =4, vs=2 и 4. Вертикальные пунктирные линии на РХ соответствуют точкам с одинаковым значением порога Х0 = 1
г V 6 8 10 0 0,2
fi(SJn)
0,6 1,0 p(S/n)
коэффициентами разложения в ряд Тейлора функции распределения F (я).
Интересными свойствами обладает интервал t между двумя последовательными импульсами процесса Пуассона. Плотность вероятности величины t является экспонентой вида
g (t) — ц. exp (— \it), ц > 0, t > 0. (4.50)
Таким образом, вероятность того, что длина интервала находится в пределах (t, t + At), равна ^ exp (—\it)dt. Легко определить, что среднее значение интервала равно 1/ц, а дисперсия равна 1/ц2. Плотность вероятности, определяемая уравнением (4.50), характерна для процесса Пуассона.
Плотность вероятности интервала t, в котором появляются г импульсов, определяется формулой
g(t/r)= ^ _!т)Г ехР (— !**)¦
где t > 0, г = 1, 2, ...
Функция (4.51) является плотностью гамма-распределения.
Рассмотрим теперь отношение правдоподобия и РХ для распределения Пуассона. Пусть функция
р (x/s) — exp (—¦vs)vf/x! (х = 0, 1, 2, . . .) (4.52)
определяет вероятности в случае, когда имеются полезный сигнал и шум, а функция
р (х/п) = ехр (—1vn)v%/x\ (4.53)
определяет вероятности появления х импульсов, когда имеется один шум. В формулах (4.52), (4.53) vs и vn есть среднее число импульсов в интервале (0, Т) для этих двух случаев. Отношение правдоподобия для (4.52), (4.53) разно
= = exp(v”~vs)(y • (4-54)
Для vs vn — это монотонно возрастающая функция. Так как распределение Пуассона есть предельный случай биномиального распределения, функция (4.54), так же как и функция (4.40), является показательной. На рис. 4.7, б изображены функции для значений v, : v„ = 1, v8 = 2, vs = 4, а также для v„ = 4. Функции Я (я) изображены на рис. 4.7, б непрерывными линиями. В действительности же они определены лишь для целых положительных значений х\ In [Я (ж)] для распределения Пуассона линейно зависит от х.
Определим РХ для распределения Пуассона. Параметрическими уравнениями являются, очевидно, уравнения (4.37). Параметром будет значение порога х*, при котором принимается решение.
(4.51)
Подставляя в (4.37) распределения Пуассона, получаем
p{S/s) — exp (— vs) S v?/.r! p{S/n) == exp(— v„) S v*/.r!
X—X* x=x*
(4.55)
Параметр x* на РХ изменяется от бесконечности до нуля, причем бесконечно большим значениям порога х* в (4.55) соответствует точка (0, 0) на РХ, а бесконечно малым значениям — точка (1.1). Исключить параметр х* из уравнений (4.55) так, чтобы получить явное уравнение РХ, нельзя. Поэтому для построения РХ (4.55) для v < 100 следует пользоваться таблицами, например таблицами Молина х. Так, для параметров х* = 18, vs = 20 hv„ = 16 по таблицам находим р (S/s) = 0, 703, р (S/n) — 0,341.
Так же как биномиальное, распределение Пуассона можно аппроксимировать нормальным распределением. Нормальное приближение будет тем точнее, чем меньше величина (х — v)3/va. Тогда суммы в правой части (4.55) могут быть легко вычислены. Выражения для вероятностей р (S/s) и р (S/n) совершенно аналогичны (4.43). Необходимо только заменить математические ожидания и среднеквадратичные значения в (4.43) соответствующими значениями для распределения Пуассона. Тогда имеем
-1 -v +0,5
Vv.
¦1 - у„ + 0,5
У\г
(4.56)
Формулы (4.56) могут быть записаны и в другой форме, если использовать уже известную функцию erfc х:
р (S/s) = erfc
Iх* v + 0,5 \ /х*~ v „ + 0,5\
Для тех же значений параметров (х* = 18, v8 = 20 и v„ = 16) приближенная формула дает следующие значения вероятностей: р (S/s) = 0,712, р (S/n) = 0,354.
РХ, соответствующие отношению правдоподобия (4.54) для пары распределений Пуассона с параметрами vs и vn, показаны на рис. 4.7, в. РХ построены для v, = 2, v, = 4 и vu = 4. РХ являются полигонами, состоящими из прямолинейных отрезков, соединяющих точки, соответствующие значениям вероятностей, полученных из уравнений (4.55). Причем на РХ имеется бесконечное число таких точек. Вертикальные пунктирные линии определяют точки на РХ с значением порога Я0 = 1.
Предыдущая << 1 .. 15 16 17 18 19 20 < 21 > 22 23 24 25 26 27 .. 95 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed