Вероятностные методы анализа сигналов и систем - Купер Дж.
ISBN 5-03-000366-5
Скачать (прямая ссылка):
ным высокочастотным линейным системам. Ясно, что площади, ограниченные графиками квадратов модулей комплексных частотных характеристик идеального фильтра (график имеет прямоугольную конфигурацию) и реальной линейной системы, должны быть равны при условии равенства средних квадратов процессов на их выходах при воздействии на их входы одного и того же белого шума. Таким образом, для низкочастотной системы эквивалентная шумовая полоса определяется как
ОО
В = (1/4я| Я (0) |2) j | Я (со) |2 dco =
—ОО
/оо
= (1 /4я/1Я (0) |2) J H(s)H(—s)ds [Гц]. (8.65)
—/оо
Если на вход такой системы воздействует белый шум со спектральной плотностью S0, то значение среднего квадрата выходного процесса равно
F2 = 2S0B | Я (0) ]2. (8 66)
Для полосового фильтра |Я(0)|2 в формулах (8.65) и (8.66) следует заменить на | Я (со0) |а.
В качестве примера, иллюстрирующего определение эквивалентной шумовой полосы, рассмотрим ^С-цепь, изображенную
на рис. 8.11. Так как интеграл, входящий в формулу (8.65), был вычислен при определении среднего квадрата (8.56), наиболее простым способом решения поставленной задачи является использование уже полученного результата совместно с (8.66). Таким образом, имеем
Поскольку j Н (0) |а = 1, эквивалентная шумовая полоса равна
Представляет интерес сравнить эту шумовую полосу с полосой пропускания на уровне половинной мощности, понятие о которой является более распространенным и традиционным. Для низкочастотной системы, в частности, для ^С-цепи, выполняющей функцию фильтра нижних частот, полоса пропускания на уровне половинной мощности определяется как граничная частота, выше которой модуль комплексной частотной характеристики меньше Иуг2 его значения на нулевой частоте. Для ^С-фильтра В\!2 = = M2nRC. Следовательно, для данной системы эквивалентная шумовая полоса в зт/2 раз превышает полосу пропускания на уровне половинной мощности. Чем ближе график модуля комплексной частотной характеристики к прямоугольной конфигурации (т. е. чем круче его ветви), тем больше степень совпадения эквивалентной шумовой полосы и полосы пропускания на уровне половинной мощности.
Можно выразить эквивалентную шумовую полосу не через частотную, а через импульсную характеристику системы. Замечая, что
и применяя теорему Парсеваля к интегралу выражения (8.65), получим
Используя эти соотношения, можем записать формулу для эквивалентной шумовой полосы
Y2 = bS0/2 = 2S0B | Н (0) j2.
В = Ы 4 = 1/4 RC.
(8.67)
оо
Я (0) = \ h (t) dt,
0
оо
оо
J h2(t)dt = (l/2n) J | Н (со) |2 da>.
— ОО
оо
со
2
(8.68)
о
о
Для систем, описываемых нерациональными комплексными частотными характеристиками или передаточными функциями, представление эквивалентной шумовой полосы во временной
области может оказаться проще, чем в частотной области. Рассмотрим интегратор со сбросом с импульсной характеристикой вида
h (t) = (1/7") [и (t) — и (t — Г) ].
При этом имеем
с» оо
j h (t) dt = (1 IT) T = 1, J\a (t) dt = (1/Г2) T = l/T.
о 0 "
Следовательно, эквивалентная шумовая полоса равна В = = (I/T)/2 (I)2 = 1/27’. В данном случае также представляет интерес получение соотношения между эквивалентной шумовой полосой и полосой пропускания интегратора со сбросом на уровне половинной мощности. С помощью преобразования Фурье импульсной характеристики h (t) получим выражение для модуля комплексной частотной характеристики
| Я (со) | = (sin (?>Т)!шТ,
уровень половинной мощности которого соответствует точке (частоте) Вц2 = 0,221/7’. Тогда имеем В = 2,26fii/2.
Одним из преимуществ использования эквивалентной шумовой полосы является возможность описания отклика даже очень сложных систем при воздействии на них шумов с помощью всего лишь двух параметров В и | Я (со0) |.
Эти параметры легко определить экспериментальным путем. Пусть, например, в результате экспериментального определения параметров приемника аппаратуры радиосвязи установлено, что его коэффициент усиления по напряжению на частоте настройки равен 10е, а эквивалентная шумовая полоса 10 кГц. Шум N (t) на входе приемника, компонентами которого являются дробовой и тепловой шумы, имеет спектральную плотность шириной в несколько сотен мегагерц и, следовательно, его можно считать белым шумом в пределах полосы пропускания приемника. Предположим, что спектральная плотность этого шума равна N0 = 2 X X 10-20 В2/Гц (это реальная величина для входных цепей приемника высокого класса). Каково эффективное значение входного сигнала X (t), при котором обеспечивается выходное отношение сигнал/шум по мощности, равное 100? Ответ на этот вопрос оказывается крайне затруднительным, если пытаться подробно анализировать каждый каскад приемника. Однако задачу можно просто решить, используя эквивалентную шумовую полосу, так как
