Вероятностные методы анализа сигналов и систем - Купер Дж.
ISBN 5-03-000366-5
Скачать (прямая ссылка):
W = (А + 1,5)/(2А + 1,5). (8.75)
В данном примере коэффициент усиления А усилителя специально не был задан, чтобы можно было проанализировать влияние его изменения на характеристики системы. Анализ соотношений (8.72) и (8.75) показывает, что значение среднего квадрата полезного сигнала на выходе системы возрастает при увеличении А, тогда как значение среднего квадрата помехи на выходе системы при этом уменьшается. Таким образом, можно предположить, что если одним из важных критериев считается отношение сигнал/шум на выходе системы, то необходимо обеспечивать большие значения А. В действительности же в ряде случаев более важным фактором может оказаться реакция системы на быстро изменяющиеся входные воздействия, что накладывает ограничения на возможный диапазон изменения коэффициента усиления Л.
Упражнение 8.10.1. Определите эквивалентную шумовую полосу системы, модуль комплексной частотной характеристики которой описывается выражением
| Н (со) I = 1/{ 1 + [(а -со0)2/ву j:1/2>
Ответ: (я/2) В1/2.
Упражнение 8.10.2. Определите эквивалентную шумовую полосу системы, импульсная характеристика которой равна
h (t) = (1 — t) [и (t) — и (t— 1)].
ЗАДАЧИ
8.2.1. Квазидетерминированный случайный процесс описывается выражением
X (/) = М + В cos (20/ + 0),
где М — случайная величина с гауссовской плотностью вероятностей, математическое ожидание и дисперсия которой соответственно равны 5 и 64; В — случайная величина с рэлеевской плотностью вероятностей и средним квадратом, равным 32; 0 — случайная величина, равномерно распределенная в интервале [0, 2я]. Все три случайные величины М, В и 0 взаимно независимы. Данный случайный процесс воздействует на вход линейной системы, импульсная характеристика которой равна
h (/) = 10 ехр [—10/] и (/),
где и (/) — единичная ступенчатая функция.
а) Запишите выражение для случайного процесса на выходе системы.
б) Определите математическое ожидание выходного процесса.
в) Определите значение среднего квадрата выходного процесса.
8.2.2. Ответьте на вопросы, поставленные в задаче 8.2.1, в случае, если импульсная характеристика системы равна
h (/) = б (/) — 10 ехр [—10/] и (/).
8.3.1. Импульсная характеристика интегратора со сбросом имеет вид
| 1 при 0 < / ^ 0,5,
( 0 при других /
На вход этого интегратора воздействует белый шум X (/) с двусторонней спектральной плотностью, равной 10 В2/Гц. Определите:
а) математическое ожидание случайного процесса Y (/) на выходе интегратора,
б) значение среднего квадрата выходного процесса,
в) дисперсию выходного процесса.
8.3.2. Ответьте на вопросы, поставленные в задаче 8.3.1, если на вход интегратора со сбросом воздействует стационарный случайный процесс с корреляционной функцией
Я* (t) = 16 ехр [—2 | % | ].
8.3.3. Случайный процесс X (/) с корреляционной функцией
Rx (т) = 16 ехр [—2 | % | ] + 16
воздействует на вход линейной системы, импульсная характеристика которой равна
h (/) = б (/) — 2 ехр [—2/] и (/).
Определите:
а) математическое ожидание случайного процесса Y (/) на выходе этой линейной системы,
б) значение среднего квадрата выходного процесса,
в) дисперсию выходного процесса.
8.3.4. На рисунке представлена эквивалентная схема однокаскадного транзисторного усилителя. Ток, обусловленный внутренними шумами транзистора, обозначен через in (t). Полезный сигнал на входе этого устройства имеет вид
Us (/) = 0,1 cos 2000л;^,
2к
ток in (t) полагается случайным процессом типа белого шума со спектральной плотностью 2-10“18 А2/Гц. Определите отношение среднего квадрата выходного сигнала к среднему квадрату шума (средней мощности) на выходе усилителя.
8.4.1. Белый шум X (t) со спектральной плотностью 10~4 Ва/Гц, воздействует на вход цепи, изображенной на рисунке.
Определите:
ОДГн
о-----------rvm--------------
ВхоЭ
М)
*1к
ВыхоЭ
Y(t)
а) корреляционную функцию выходного случайного процесса Y (t),
б) средний квадрат выходного процесса.
8.4.2. Ответьте на вопросы, поставленные в задаче 8.4.1, если на вход системы воздействует стационарный случайный процесс X (t) с корреляционной функцией
Rx W = 2 ехр [—5000 \ % \ ].
8.4.3. Цель данной задачи заключается в получении достаточно общего результата, касающегося анализа линейных систем многих типов. На примере
временной функции треугольной формы, изображенной на рисунке, докажите справедливость равенства
jg2 (<) dt = (1/3) ft2 (b — a)
для любой треугольной функции при условии, что а ^ с ^ Ь.
