Вероятностные методы анализа сигналов и систем - Купер Дж.
ISBN 5-03-000366-5
Скачать (прямая ссылка):
h (t) = Vs [и (0 -и (/-3)].
Определите значения корреляционной функции выходного сигнала при а) т = = 0, б) т = 1, в) т = 2.
Ответы: 0,1111, 0,2222, 0,3333.
Упражнение 8.6.2. Смесь постоянного напряжения А и шума N (t) описывается выражением X (t) = А + NA{t), где случайный процесс N (t) имеет корреляционную функцию вида
Rn (т) = 1 — (1 -г ]/0,01), |с |< 0,01.
Для измерения уровня постоянного напряжения А (для фильтрации постоянного напряжения на фоне шума) со средней квадратической ошибкой, не превышающей 0,02А, используется интегратор со сбросом, импульсная характеристика которого равна
h (t) = (1/Г) [и (<) — и (t—T)].
Определите Г, при kotodom реализуется заданная точность измерения.
Ответ: 25.
8.7. Анализ линейных систем в частотной области
Наиболее широкораспространенный метод анализа и описания линейных систем в частотной области оперирует такими понятиями, как комплексная частотная характеристика системы Н (©) и передаточная функция системы Н (s), представляющие собой
соответственно преобразования Фурье и Лапласа импульсной характеристики. Если х (t) и у (t) — входной и выходной сигналы линейкой системы, то их преобразования Фурье X (со) и Y (со) связаны соотношением
при условии, что эти преобразования существуют. Ни одно из этих соотношений не может быть использовано в случае, если А' (t) — стационарный случайный процесс. Как было показано в разд. 7.1, преобразование Фурье реализации стационарного случайного процесса в общем случае никогда не существует. Для одностороннего преобразования Лапласа соотношение между входным и выходным сигналами определено только для t >> О, а такие функции времени не могут быть реализациями стационарного случайного процесса.
Один из путей преодоления возникающих при этом трудностей связан с использованием спектральной плотности случайного процесса и проведением анализа с помощью усеченной реализации длительности Т, для которой предельный переход (Т -»- оо) осуществляется только после выполнения операции усреднения. Такая процедура правомерна и ведет к математически корректным результатам. Однако существует намного более простая процедура, которая может быть применена на практике. В разд. 7.6 было показано, что спектральная плотность стационарного случайного процесса представляет собой преобразование Фурье его корреляционной функции. Поэтому, используя результаты, полученные для корреляционной функции случайного процесса на выходе линейной системы с постоянными параметрами, посредством необходимых преобразований можем получить соответствующие соотношения и для спектральной плотности. Из вывода основного соотношения очевидна близкая аналогия в выполнении вычислений как для детерминированных, так и для случайных сигналов.
8.8. Спектральная плотность случайного процесса на выходе линейной системы
Спектральная плотность какого-либо случайного процесса является мерой распределения его средней мощности по частотному диапазону и не содержит никакой информации о фазах различных частотных компонент процесса. Как было показано выше, спектральная плотность Sx (<*>) и корреляционная функция Rx (т) связаны между собой преобразованием
У (со) = X (со) Я (со), а преобразования Лапласа — соотношением
Y{s) = X (s) Я (s)
(8.50)
(8.49)
Sx (со) = & |Я*(т)}.
(8.51)
Используя (8.51), а также соотношение (8.17), связывающее корреляционные функции Ry (х) и Rx (х) соответственно выходного и входного сигналов через импульсную характеристику системы, получим
Изменяя порядок интегрирования и выполняя указанные операции, находим
При выводе выражения (8.52) использовалось свойство четности корреляционной функции, а именно Rx (—т) =
Rx
(х).
Из (8.52) следует, что спектральные плотности входного и выходного процессов связаны между собой через квадрат модуля комплексной частотной характеристики системы | Я (со) |2. Этот результат можно также выразить через комплексную частоту s:
где Sу (s) и Sx (s) получены из SY (со) и Sx (со) путем подстановки вида —s2 = со2, а Я (s) получено из Я (со) заменой /со на s. Представление именно этого вида будет использоваться в дальнейшем при рассмотрении методов анализа в частотной области.
Из анализа (8.53) очевидно, что произведение Я (s) Я (—s) играет ту же самую роль в установлении соотношения между спектральными плотностями входного и выходного сигналов, что и функция Я (s), связывающая между собой преобразования Лапласа этих сигналов. Такая аналогия создает благоприятные предпосылки для использования методов анализа в частотной области систем с рациональными передаточными функциями в слу-
ОО
оо
Ry (т) — J dk 1 J Rx (^2 — — ъ) h (^i) h (^2) d%2>
о 0
—00 LO 0
X exp [—/ют] dr.
00
00
00
SY (со) = J dXt J h (X±) h (X2) dX2 J Rx {X2 — Xj. — x) exp [—/cox] dx
