Вероятностные методы анализа сигналов и систем - Купер Дж.
ISBN 5-03-000366-5
Скачать (прямая ссылка):
S/N0 = | Я (©„) |2 XWo В | Я (со0) |а = XWoB, (8 • 69)
где X2 — средний квадрат (средняя мощность) входного сигнала, iV0 — спектральная плотность шума на входе приемника.
Таким образом, имеем Х2/2N0B = 100, X2 = 2N0B (100)2-2- 10^20х X 104-100 = 4-10-14, откуда (Х2)1/2 = 2• 10-7 В, что представляет собой искомое эффективное значение напряжения входного сигнала. Заметим, что для определения отношения сигнал/шум на выходе приемника не требовалось знание его коэффициента усиления, хотя он и был задан.
Следует подчеркнуть, что использование эквивалентной шумовой полосы оказывается результативной процедурой только тогда, когда случайный процесс на входе линейной системы можно считать белым шумом. Если спектральная плотность входного процесса не является равномерной (т. е. постоянной) и в значи-
п (t)
Рис. 8.13. Система автоматического регулирования.
тельной степени изменяется в пределах полосы пропускания системы, то применение данного подхода может привести к заметным ошибкам.
В заключение анализа линейных систем в частотной области рассмотрим систему с обратной связью, структурная схема которой изображена на рис. 8.13. Такой системой может быть устройство управления положением и стабилизации антенны радиолокационной станции, где х (t) — текущая угловая координата цели (она полагается случайной, так как положение цели заранее неизвестно), у (t) — угловое положение (или угол поворота) антенны, изменяющееся при поступлении сигнала управления. Возмущающее воздействие п (t) может учитывать, в частности, влияние ветровых нагрузок на антенну, вследствие чего изменение углового положения антенны представляет собой случайный процесс. Общая передаточная функция звена, состоящего из усилителя и исполнительного двигателя, образующих петлю обратной связи, равна Н (s) = Л/s (s + 1). Передаточная функция, связывающая преобразования Лапласа X (s) = 9? [х (t) ] и Y (s) = 9? [у (t) ] соответственно входного и выходного сигналов, может быть получена в предположении п (t) = 0 и с учетом того, что
Y(s) = ffi(s) [X;(s)-Y(s)].
Последнее соотношение правомерно в силу того, что сигналом на входе усилителя является разность входного управляющего воз-
действия и выходного сигнала системы. Тогда для передаточной функции разомкнутой системы справедливо выражение
Нс (s) = Y (s)/X (s) = Н (s)/[l + H(s)] =
= Л/(s2 + s + A). (8.70)
Если спектральная плотность входного управляющего воздействия, рассматриваемого как случайный процесс, равна Sx (s) = = —2/(s2 — 1), то спектральная плотность выходного сигнала будет иметь вид
ST (s) = Sx (s) Hc (s) Hc (—s) =
= — 2A2/(s2 - 1) (s2 + s + A) (s2 - s + A). (8.71)
При этом значение среднего квадрата выходного сигнала равно ___ /°°
Y2 = (2^2/2я/) | [15 _|_ 2sa + (А + 1) s + А] [—s3 + 2s2 — (А + 1) s + А] =
—f ОО
- 2Л2 /„
где коэффициенты соответствующих полиномов (табл. 7.1) для интеграла /3 равны: с0 = 1, сх = 0, с2 = 0, d0 = A, = А + 1, d2 = 2, ds = 1. В соответствии с табл. 7.1 можно получить
F2 = 2А/(А + 2). (8.72)
Передаточная функция, связывающая между собой преобразования Лапласа N (s) = 2? [п (01 и М (s) = 3? [т (t) ] соответственно входного возмущения п (t) и помехи на выходе системы т (t), отличается от (8.70), так как возмущение приложено в другой точке. Очевидно, что
М (s) == N (s) — Н (s) М (s),
с учетом чего получаем выражение для передаточной функции Нп (s):
Я„ (s) = М (s)lN (s) = 1/[1 + Я (s)] = s (s + 1 )/(s2 +
+ s + А). (8.73)
Пусть возмущающее воздействие имеет спектральную плотность, равную
SN (s) = 6 (s) — [l/(s2 — 0,25) ],
что соответствует наличию в возмущении как постоянной составляющей, так и случайной компоненты. Тогда спектральная плотность помехи на выходе системы равна
SM (s) = SN (s) Hn (s) Hn (—s) = (6 (s) — [l/(s2 — 0,25)]} x
X [s2 (s2 — l)/(s2 -J- s -j- A) (s2 — s -f- A)]. (8.74)
Значение среднего квадрата помехи на выходе системы можно определить из выражения
/оо
М2 = (1/2я/) J {б (s) - [l/Cs2 - 0,25)]j х
—/оо
X [s2 (ь2 — 1 ),/(s2 + s + A) (s2 — s + A)] ds.
Так как подынтегральное выражение становится равным нулю при s — 0, интеграл от б (s) не влияет на величину среднего квадрата. Окончательно имеем
ЛР = (l/2nj) X
/оо
v f __________________________s(s+ 1)(—S) (—S + l)rfs_________________ ,
-/oo[S3 + + (A + 0-5^ S + 0'5i41 l“S3 + 1-5S2 _ + 0'5^ S+0,5<4]
Соответствующие коэффициенты (см. табл. 7.1) равны с0 = 0, = 1, с.2 = 1. 4 = 0,5А, = [А + 0,5), d2 = 1,5, d3 = 1. Тогда выражение для среднего квадрата М2 приводится к виду
