Вероятностные методы анализа сигналов и систем - Купер Дж.
ISBN 5-03-000366-5
Скачать (прямая ссылка):
OO
OO
[ dX± J h (Xi) h (X2) Sx (a) exp [—/со (X2 — J^)] dX2
о 0
OO
OO
Sx (со) J h (>^) exp [/coA,i] dX± j h (X2) exp [—/a>A,2] dX2
о 0
Sx (©) Я (-со) Я (со) = (со) I Я (со) I2.
(8.52)
Sy (s) = S* (s) Я (s) Я (—s),
(8.53)
чае, когда входной сигнал^является стационарным случайным процессом. Однако эти методы не всегда применимы при воздействии на вход линейной системы нестационарного случайного процесса, даже если определение его спектральной плотности по форме совпадает с вышеприведенным. Детальное изучение этих вопросов выходит за рамки этой книги, однако полезно проанализировать правомерность применения формулы (8.53) для нестационарных случайных* процессов.
Так как нами уже получена формула для спектральной плотности выходного сигнала Y (t) системы, нетрудно определить значение его среднего квадрата:
/оо
F2 = (1/2jt/) J H(s)H{-s)Sx(s)ds,
—/оо
(8.54)
которое может быть вычислено любым из методов, проанализированных в разд. 7.5.
Для пояснения приведенных выше результатов рассмотрим RC-цепь, изображенную на рис. 8.11, и предположим, что на ее вход воздействует белый шум X (t) со спектральной плотностью S0¦ Спектральная плотность выходного сигнала У (t) определяется как
Sy (s) = [b/(s + b)] [b!(-s + b)] S0 = -62S0/(s2 - b\ (8.55)
Средний квадрат выходного сигнала может быть получен с помощью интеграла 1г из табл. 7.1 (разд. 7.5). С этой целью целесообразно переписать (8.55) в виде
Sr (s) = (b/SD (b/S^)/(s + b) (—s -f b),
откуда следует, что n — 1, а полиномы, фигурирующие в табл. 7.1, равны с (s) = b (S0)I/2 = с0; d (s) = s + b. Таким образом, коэффициенты d0 и d1 равны d0 = b, d± — 1, а интеграл 1х и, следовательно, средний квадрат Y2 составляют
V2=h= cl/2(kdi = b2SQ/2b = bSo/2. (8.56)
В качестве более сложного примера рассмотрим случай, когда спектральная плотность входного случайного процесса X (t) равна
Sx (s) = - р2). (8.57)
Данная спектральная плотность соответствует корреляционной функции, введенной в разд. 8.4, и выбрана таким образом, что
Й
О ¦ 1 ¦
+ < т
ь=
RC
+
Y(t)
Рис. 8.11. Интегрирующая ЯС-цепь. Н (s) = b/(s -f Ь).
на нулевой частоте она равна 50. При этом спектральная плотность сигнала на выходе ЯС-цепи определяется как
5r (s) = [bj(s + Ь)] [bj(s + Ь)] [—p*So/(s* - Р2)] =
= 62P250/(s2 - b2) (s2 - р2). (8.58)
Значение среднего квадрата этого сигнала можно вычислить, пользуясь интегралом /2 из табл. 7.1. С этой целью представим
(8.58) в форме
/<л _ с (s) с (—s) __________(&Р^о/2) (&PSq/2)1___________
d (s) d (—s) ~ [s3 4- (6 H- P) s + &P] fs2 — (6 H- P) s + *P] *
Отсюда ясно, что n = 2, а коэффициенты полиномов с (s) и d (s), фигурирующих в табл. 7.1, равны cQ = ftp (S0)1/2> сх = О, d0 = = &Р, d1 = b + р, d2 = 1. Тогда получим
Р = /2 = (cbk + c2ido)/2dodid2 = fc2p2S0/2fcp (6 + р) = fcpS0/2 (6 + р).
(8.60)
Представляет интерес вновь проанализировать полученные здесь результаты в случае, когда ширина спектральной плотности входного случайного процесса много больше полосы пропускания системы, а именно когда Р > Ь. Перепишем выражение
(8.58)][в тде][
SY (s) = -b2S0/(s2 - b2) (1 - s2/p2), (8.61)
откуда ясно, что по мере роста Р эта спектральная плотность стремится к функции, описываемой выражением (8.55), определяющим спектральную плотность случайного процесса на выходе /?С-цепи при воздействии на ее вход белого шума. Выражение (8.60) для средн го квадрата можно переписать в виде
Г2 = Мо/2(1 + 6/р), (8.62)
что соответствует при больших Р результату (8.56), полученному для воздействия белого шума.
Сравнение этих примеров с аналогичными примерами, при решении которых использовались методы анализа во временной области, свидетельствует о том, что в случаях, когда спектральная плотность входного сигнала и передаточная функция системы являются рациональными функциями, методы анализа в частотной области оказываются более простыми. При этом, чем сложнее анализируемая система, тем более ощутимы преимущества применения этих методов. Если же либо спектральная плотность входного сигнала, либо передаточная функция системы не являются рациональными функциями, то этот вывод может оказаться неправомерным.
Упражнение 8.8.1. Белый шум с двусторонней спектральной плотностью, равной 2 В2/Гц, воздействует на вход линейной системы, имеющей импульсную характеристику вида
h (t) = / ехр [—3/] и (/).
