Вероятностные методы анализа сигналов и систем - Купер Дж.
ISBN 5-03-000366-5
Скачать (прямая ссылка):
Оценка ti-то выборочного значения взаимной корреляционной функции входного и выходного процессов определяется из выражения
N
Rxy {п At) = (N — n -f- 1 )-1 J] Xk_nYh, n = 0, 1, 2, ..., M N.
k=n
Рис. 8.10. Структурная схема устройства, реализующего алгоритм оценки
импульсной характеристики линейной системы.
А = [a\ht(N — п+ l)]-i.
Чтобы установить соотношение между этой оценкой и оценкой импульсной характеристики линейной системы, необходимо выявить связь дисперсии выборочных значений процесса X (t) с его спектральной плотностью. Если ширина спектральной плотности входного процесса велика, так что его выборочные значения Xk, взятые с шагом секунд, можно считать статистически независимыми, то справедливо допущение о том, что эти выборки являются отсчетными значениями белого шума с ограниченным по полосе спектром, ширина которого W равна 1/2А^. Так как дисперсия о| процесса в виде такого белого шума равна 2SoW\ имеем S0 = а\ At. При этом не имеет значения, какой в действительности вид имеет спектральная плотность процесса X (t), поскольку независимые выборки какого-либо процесса неразличимы (т. е. эквивалентны) от независимых выборок белого шума с ограниченной по полосе спектральной плотностью при условии равенства дисперсий этих двух процессов. Таким обра-
зом, в соответствии с (8.36) выражение для оценки импульсной характеристики линейной системы имеет вид
N
К (п At) = (1 /а\ At) Rxy (п At) = [ 1/ofr At (N - n + 1)] ? Xk~nYk,
k=n
(8.46)
n = 0, 1, 2,..M < ЛГ.
Определив математическое ожидание оценки (8.46), можно непосредственно показать, что она является несмещенной оценкой импульсной характеристики системы. Кроме того, можно убедиться в том, что дисперсия этой оценки является ограниченной величиной:
м
D [Тг (п АО] < (2/N) Ц /г2 (k At). (8.47)
k=0
Часто оказывается более целесообразным перейти в (8.47) от суммирования к интегрированию
М оо
2 /г2 (k At) < (l/At) j Л2 (t) dt. (8.48)
k=o о
Отметим, что граничное значение дисперсии оценки не зависит от того, какая выборка импульсной характеристики оценивается в данный момент th = k At.
Вышеприведенные результаты представляют интерес и практическую пользу при определении числа выборок входного и выходного сигналов, необходимого для достижения заданной точности оценивания импульсной характеристики. Для пояснения этого предположим, что требуется оценить импульсную характеристику вида
h (t) =5 ехр [—5^ I sin 201 u(t)
<20 средней квадратической ошибкой, составляющей менее 1 % максимального значения функции h (t). Так как максимальное значение этой импульсной характеристики приблизительно равно 3,376 при t = 0,0785, дисперсия оценки должна быть меньше (0,01 X 3,376)2 = 0,0011. С другой стороны, имеем
оо
j h2 (0 dt = 1,25. о
Таким образом,?из (8.47) и (8.48) следует, что число выборок, требуемое для достижения заданной точности, должно удовлетворять неравенству, определяющему нижнюю границу этого числа: N > (2 X 1,25)/0,0011 > 2193.
Va Дж. Купер
Выбор интервала At определяется как требуемым числом точек М, в которых должно осуществляться оценивание импульсной характеристики h (t), так и длительностью временного интервала, в пределах которого импульсная характеристика имеет достаточно большие значения. Для пояснения этого предположим, что в вышеприведенном примере ставится задача оценки импульсной характеристики в 50 точках временного интервала, в пределах которого уровень импульсной характеристики превышает 1 % ее максимального значения. Так как в выражении для h (t) сомножитель sin 20t не может превышать единицу, имеем неравенство 5 ехр [—Ы) 0,01 X 3,376, которое означает, что максимальная временная задержка, которая должна учитываться (и которая должна вводиться в тракт задержки входного сигнала при реализации процедуры оценки), не превышает 1 с. Таким образом, в данном случае вполне приемлемым оказывается период дискретизации At = 1/50 = 0,02 с. При этом ширина спектральной плотности идеального белого шума с ограниченным спектром, выборочные значения которого независимы при периоде дискретизации 0,02 с, должна составлять 25Гц. С практической точки зрения, чтобы наверняка гарантировать независимость выборок, целесообразно использовать случайный процесс, ширина спектральной плотности которого для рассматриваемого примера составляет на уровне половинной мощности 250 Гц.
Упражнение 8.6.1. Белый шум с двусторонней спектральной плотностью, равной 0,01, воздействует на вход интегратора со сбросом, имеющего импульсную характеристику
