Вероятностные методы анализа сигналов и систем - Купер Дж.
ISBN 5-03-000366-5
Скачать (прямая ссылка):
Определите а) значение спектральной плотности выходного процесса при со = О,
б) значение спектральной плотности выходного процесса при <0 = 3, в) значение среднего квадрата выходного процесса.
Ответы: 0,00617, 0,0185, 0,0247.
Упражнение 8.8.2. Для линейной системы, импульсная характеристика которой определена в исходных данных упражнения 8.8.1, найдите значение среднего квадрата выходного процесса при воздействии на ее вход случайного процесса X (t), спектральная плотность которого имеет вид Sx(co) = 1800/(со2 —f--1- 900).
Ответ: 0,0185.
8.9. Взаимная спектральная плотность случайных процессов на входе и выходе линейной системы
Взаимные спектральные плотности случайных процессов, действующих на входе и выходе линейной системы, широкого применения на практике не находят, но представление о них целесообразно иметь. Вывод соотношений для этих функций осуществляется в соответствии с вышеприведенной общей методикой, поэтому приведем только окончательные результаты. В частности, для пары взаимных спектральных плотностей SXY (s) и (s)
имеем
Sxy (s) = H (s) Sx (s), (8.63)
(s) = H (—s) S* (s). (8.64)
Взаимные спектральные плотности находятся точно в таком же соотношении с взаимными корреляционными функциями входного и выходного случайных процессов, в каком находятся обычные спектральные плотности и корреляционные функции, а именно:
ОО
SXy(s)= J Rxy (т) ехр'[—st] dr,
•—ОО ОО
Syx(s)= _[ Ryx СО ехр [ st] dr.
——ОО
Аналогично обратное двустороннее преобразование Лапласа может быть использовано для вычисления взаимных корреляционных функций исходя из взаимных спектральных плотностей, однако соответствующие соотношения здесь приведены не будут. Как было отмечено в разд. 7.8, взаимные спектральные плотности не обязательно являются четными функциями со, вещественными или положительно определенными.
Ю*
Для пояснения вышеприведенных соотношений вновь рассмотрим ^С-цепь (рис. 8.11), на вход которой воздействует белый шум с двусторонней спектральной плотностью S0. Согласно (8.63) и (8.64), обе взаимные спектральные плотности определяются как
•Sxy
(s) — bS„/(s -)- b),
Syx (s) — bS0/(—s -)- b).
Если эти спектральные плотностр путем замены s — j® представить как функции со, то станет очевидным, что данные взаимные спектральные плотности не являются вещественными, четными и положительными функциями частоты а>. Ясно, что аналогичные результаты можно получить и для любой другой спектральной плотности входного процесса.
Упражнение 8.9.1. Белый шум с двусторонней спектральной плотностью, равной 0,5 В2/Гц, воздействует на вход интегратора со сбросом, импульсная характеристика которого есть
А (0 = [и (i)-u(t-\)].
Определите значения взаимных спектральных плотностей Sxy(s) и Syx (s) для а) <0 = 0, б) ш = 0,5, в) <о = 1.
Ответы: 0,5, 0,4794 ± /0,1224, 0,4207 ± /0,2298.
Упражнение 8.9.2. Два взаимнонезависимых случайных процесса X (t) и Y (t) имеют одинаковые спектральные плотности вида
Sx («) = Sy (s) = —l/(s2 — 1).
а) Определите взаимные спектральные плотности Sxy (s) и Syx (s)•
б) Определите взаимные спектральные плотности вида Suv (s) и Syu (s), где случайные процессы U (t) и V (t) определяются как U (t) = X (t) + Y (f) и
V (t) — X (t) - Y (t).
Ответы: 0, 0, 0, 0.
8.10. Примеры анализа линейных систем в частотной области
Как отмечалось выше, методы анализа в частотной области оказываются наиболее эффективными в случаях воздействия на простейшие фильтры (являющиеся вариантами линейных систем) случайных процессов со спектральными плотностями, описываемыми рациональными функциями. На практике довольно часто представляется возможность дальнейшего упрощения вычислений, не связанного с возникновением существенных дополнительных ошибок и предполагающего использование идеальных линейных фильтров при воздействии на их входы белого шума. Важным вопросом, связанным с реализацией этой концепции, является введение понятия эквивалентной шумовой полосы.
По определению эквивалентная шумовая полоса В системы — это полоса пропускания идеального (с прямоугольной амплитудно-
частотной характеристикой) фильтра, квадрат модуля комплексной частотной характеристики которого равен максимальному значению этого параметра для реального фильтра и значение среднего квадрата выходного сигнала которого равно значению среднего квадрата сигнала на выходе реального фильтра при воздействии на его вход белого шума. Это понятие иллюстрируется рис. 8.12 применительно к низкочастотным и узкополос-
Рис. 8.12. Эквивалентная шумовая полоса: а — низкочастотной линейной
системы; б — высокочастотной узкополосной системы.
