Вероятностные методы анализа сигналов и систем - Купер Дж.
ISBN 5-03-000366-5
Скачать (прямая ссылка):
*) Это справедливо для систем с параметрами, не изменяющимися во времени, при фиксированной задержке т.
Этот метод успешно реализуется при решении практических инженерных задач в ряде областей, связанных с системами автоматического регулирования, устройствами управления химическими процессами, бортовой аппаратурой измерения характеристик летательных аппаратов и их оборудования и т. д. Одно из наиболее нетрадиционных применений метода связано с непрерывным контролем (регистрацией) импульсной характеристики ядерного реактора с целью анализа степени близости его состояния к критическому, т. е. неустойчивому. Еще одной областью использования данного подхода является анализ динамики поведения крупных зданий при землетрясениях и воздействии сильных кратковременных ветровых нагрузок.
Упражнение 8.5.1. Белый шум воздействует на вход линейной системы, импульсная характеристика которой определена в исходных данных упражнения 8.4.1. Определите значения обеих взаимных корреляционных функций Rxy (т) и Ryx (т) входного и выходного процессов для тех же значений т.
Ответы: 0, 0, 0, 0, 1,25, 1,25.
Упражнение 8.5.2. Импульсная характеристика линейной системы и случайный процесс на ее входе определены в исходных данных упражнения 8.4.2. Определите значения обеих взаимных корреляционных функций при тех же т.
Ответы: —0,4167, —0,1731, 0,0157, 0,1160, 0,8571, 0,8571.
8.6. Примеры анализа линейных систем во временной области
В разд. 8.4 было показано, что анализ воздействия случайного процесса с экспоненциальной корреляционной функцией на простую Л?С-цепь связан с выполнением достаточно трудоемких процедур. В самом деле, для таких линейных систем и входных процессов рациональнее использовать методы анализа в частотной области, которые будут рассмотрены в данной главе ниже. Поэтому целесообразно пояснить ряд случаев, когда более предпочтительным оказывается применение методов анализа во временной области. Эти случаи имеют место, когда импульсная характеристика и корреляционная функция имеют простой вид при конечном временном интервале.
В качестве примера рассмотрим линейную систему, называемую интегратором со сбросом, импульсная характеристика которого изображена на рис. 8.6, а. Предполагается, что на его вход воздействует сигнал с корреляционной функцией, приведенной на рис. 8.6, б. Такую корреляционную функцию может иметь, например, двоичный случайный процесс, рассмотренный в разд. 6.2.
Для выбранного вида входного воздействия X (t), математическое ожидание которого X равно нулю, процесс Y (t) на выходе интегратора со сбросом будет также иметь нулевое математическое
ожидание. Однако в более общем случае при X ф 0 математическое ожидание выходного процесса согласно (8.7) равно
т
Y = X \ (l/Т) dt = X. (8.40)
б
Рис. 8.6. а — импульсная характеристика интегратора со сбросом, б — корреляционная функция входного воздействия.
Так как рассматриваемый входной случайный процесс не является белым шумом, для определения среднего квадрата выходного процесса следует использовать равенство (8.10). Тогда получим
т т
Y* = J dlj. j [Rx (Х2 - V)] (1/7?<й2. (8.41)
о о
Для облегчения процедуры вычисления этого интеграла целесообразно использовать геометрическое представление подынтегральной функции, показанное на рис. 8.7. Следует заметить, что значение среднего квадрата У2 равно объему, ограниченному изображенной геометрической фигурой, состоящей из двух прямоуголь-
ных пирамид, каждая из которых имеет площадь основания, равную (А2/Т2) j/~2T, и высоту T/\f 2. Очевидно, что общий объем этой фигуры равен
Тг = 2 (1/3) (А2/Т2) (/2 Т) (7V/2) = 2/3Л2. (8.42)
Пользуясь формулой (8.17), можно получить следующее выражение для корреляционной функции выходного сигнала: т т
RY (т) = J <йх } [Rx (^ - К - т)] (1 /Г)2 d**. (8.43)
о
Рис. 8.8. Корреляционная функция случайного сигнала на выходе интегратора со сбросом при воздействии на его вход случайного процесса с корреляционной функцией треугольной формы.
Предоставляем читателю в качестве упражнения доказать, что эта корреляционная функция имеет вид, изображенный на рис. 8.8, и состоит из сегментов кубических парабол.
Следует отметить, что результаты (8.41)—(8.43) существенно упрощаются в случае, если входной процесс X (t) можно считать белым шумом. Так, в частности, выражение (8.12), полученное для случая воздействия белого шума на линейную систему, приводится к виду
т
F2= S0\(l/T?dX = S0/T, (8.44)
о
где S0 — спектральная плотность входного белого шума. Кроме того, из выражения (8.18), справедливого для этого частного случая, следует, что корреляционная функция RY (т) выходного процесса Y (t) имеет график, изображенный на рис 8.9, так как она по существу представляет собой корреляционную функцию самой импульсной характеристики системы. Заметим, что этот результат является иллюстрацией одного из методов формирования случайного процесса, имеющего корреляционную функцию треугольной формы.
