Элементарная теория устойчивости и бифуркаций - Йосс Ж.
Скачать (прямая ссылка):
ei/"-< е(А> < ?о k=[, ..., п, и мы получаем единственную
функцию р = р(в(1>, ..., е(л)) в интервале р0-a<p<p0-j-a.
Замечание 4. Доказательство теоремы о неявной функции дается почти во
всех учебниках по математическому анализу и здесь опускается.
§ II.2. Классификация точек кривых, изображающих решения
В нашем исследовании равновесных решений (II.3) желательно ввести
следующую классификацию точек.
(1) Регулярная точка уравнения /Др, е) = 0 - это такая точка, для которой
выполняются условия теоремы о неявной функции:
F Ф0 или РгФ 0. (П.4)
Если (II.4) выполняется, то можно найти единственную кривую p = p(s) или
E = s(p), проходящую через эту точку.
(2) Регулярная экстремальная точка - это точка, в которой р8 (е) изменяет
знак и /Д (р, е) Ф 0.
(3) Особая точка кривой /Др, е) = 0-это точка, в которой
/Д = /Д = 0. (11.5)
(4) Двойная точка кривой F (р, е) = 0-это особая точка, через которую
проходят две и только две ветви /Др, е) = 0, имеющие разные касательные.
Мы будем предполагать, что в двойной точке все вторые производные от F
одновременно не обращаются в нуль.
(5) Особая экстремальная (двойная) точка кривой F (р, е) = 0 - это
двойная точка, в которой ре изменяет знак на одной ветви.
(6) Точка возврата кривой F (р, е) = 0-это точка касания второго порядка
между двумя ветвями кривой. Две ветви кривой имеют в точке возврата одну
и ту же касательную.
(7) Сопряженная точка - это изолированное особое точечное решение
уравнения /Др, е) = 0.
(8) Особая точка высокого порядка кривой /Др, е) = 0 - это особая точка,
в которой все три вторые производные от F равны нулю.
Замечания. Элементарная теория особых точек плоских кривых излагается во
многих книгах по классическому анализу; например, см. R. Courant,
Differential and Integral Calculus, Vol. II, Chap. Ill
20
ГЛАВА II
(New York: Interscience, 1956). Для того, чтобы дополнить исследование
бифуркации в R1, нам, кроме того, понадобится провести исследование
устойчивости бифуркационных решений (см. разд. II.8 -11.14, содержащие
результаты, опубликованные в работе: D. D. Joseph, Factorization theorems
and repeated branching of solutions at a simple eigenvalue, Annals of the
New York Academy of Sciences, 316, 150-167 (1979).
§ 11.3. Характеристическая квадратичная форма. Двойные точки, точки
возврата и сопряженные точки
Необходимо уточнить понятие двойных точек. Пусть (р0, е0) - особая точка.
Тогда равновесные кривые, проходящие через особые точки, должны
удовлетворять уравнению
2f(p, е) = Е№6р2 + 2/7ед6е6р + /78е6е2 + о[(|6р| + |6е|)2] = 0,
(II.6)
где 6p = u- р0, 6е = е-е0,
(р, в) - (р0, ео) уравнение к квадратному уравнению
(Ik 6)
/7цд = /7ди(М'о. е0) и т. д. В пределе при для кривых Е(р, е) = 0
приводится
(П.7)
Едд^р2 + 2Feflde dp + Esede2
:0
для тангенсов угла наклона касательных к кривым. Отсюда находим
1 О СО 1 ¦р
Уе*1 ("о). Е дд
[!]
D
или
где
Гр(Г ьд (Но) Fем
р(2) (Но). F ее
+ ^ Г-"
1
D = F2
и - ' ем
ЕддЕ8е.
(II.8)
(11.9)
(II Ю)
Если D < 0, то не существует вещественных касательных, проходящих через
(р0, е0), и точка (и0, е0) является изолированной (сопряженной) точкой-
решением уравнения /7(р, е) = 0.
Рассмотрим случай, когда (р", е0) не является особой точкой высокого
порядка. Значит, (р0, е0) есть двойная точка тогда и только тогда, когда
D > 0. Если две кривые проходят через особую точку и D = 0, то тангенс
угла наклона касательной в особой точке, в которой касание кривых имеет
высокий порядок, определяется уравнением (11.8) или (11.9). Если D>0 и
то существуют две
касательные с тангенсами углов наклона р^'^о) и Рв2)(е0), даваемыми
уравнением (11.8). Если D>0 и Ецц=0, то Еед=^= 0,
de [2dpEBJt + de Еве J = 0
(11.11)
БИФУРКАЦИЯ и УСТОЙЧИВОСТЬ СТАЦИОНАРНЫХ РЕШЕНИЙ 21
и существуют две касательные с тангенсами углов наклона ед (р0)=0 и рЁ
(е0) = - FEB/2Fm. Если вр. (и-0) = 0, то р0, е0) = 0. Таким образом, все
возможные ситуации исчерпываются следующими двумя случаями:
(A) D> 0, Едд ФО с тангенсами угла наклона касательных p'g1' (е0) и
р(е2>(е0).
(Б) D > О, F^ = О с тангенсами угла наклона касательных
(Н'о) = О И рЁ (б0) = Fее/2/7Ё(1.
§ 11.4. Двойная точка бифуркации и теорема о неявной функции
Говорят, что решения (р, е) уравнения /''(р, е) = 0 имеют двойную точку
бифуркации в (р0, е0), если две кривые с различными касательными проходят
через (р0, е0). Предположим, что D >0, и для нахождения кривых применим
теорему о неявной функции. Рассмотрим случай (А), указанный в последнем
абзаце § II.3, и определим функцию v (е), удовлетворяющую уравнению р -
р0=о (е) (е-е0) и такую, что
def
и0 = и(е") = рЁ (е0),
где ре (е0) имеет одно из двух значений pi1', pj,2), даваемых формулой
(II.8) и представляющих собой решение характеристического квадратного
уравнения. Определим
п. .def 2F (р, е)
G<", = =
= F^ + 2FEtlv + FRe +
+ j {Fees + 3Fseilv + 3Feixtlv* + Fmtlv3} (в¦- е") + о (I е-е01).
(11.12)
Мы определили G так, чтобы
G(u0. 8о) = F+ 2Fеди0 -f- Egg = 0
