Элементарная теория устойчивости и бифуркаций - Йосс Ж.
Скачать (прямая ссылка):
притягивающими множествами, которая не поддается описанию простыми
способами. В одномерных задачах все решения лежат на вещественной прямой,
в двумерных задачах все решения с заданными начальными условиями лежат на
плоскости, а их траектории не могут пересекаться в силу единственности
решений. Это строгое ограничение на решения двумерных задач не имеет силы
для пространственных задач, в которых пересекающиеся траектории могут в
конечном счете генерировать притягивающие множества значительной сложное-
ПРЕДИСЛОВИЕ
7
ти (см., например, Lorenz N.E., Deterministic nonperiodic flow, J. Atmos.
Sci., 20, 130 (1963)).
Мы рассматриваем эту книгу как пособие по изучению основ бифуркации. Наша
цель состояла в изложении общей теории задач, которые посредством
проектирования можно привести к двумерным. При выполнении этой работы мы
получили большое число новых научных результатов-они содержатся во всех
главах книги, особенно в задаче о бифуркации периодических решений,
которая излагается в гл. X и XI. Студенты, желающие углубить свои знания
после овладения элементарной теорией, могут ознакомиться с литературой,
указанной в конце гл. I.
Среди нескольких тысяч статей, опубликованных начиная с 1963 г., имеется
много хороших и важных. Мы отказались от намерения сделать
систематический обзор этих работ, поскольку хотели сосредоточить внимание
лишь на элементарной части теории. Тем не менее полезно отметить, что в
некоторых работах используется метод Ляпунова - Шмидта для разложения
пространства решений и уравнений на конечномерную и бесконечномерную
части. Уравнения для бесконечномерной части можно решить, и полученная в
итоге конечномерная задача содержит всю информацию о бифуркации. В других
работах для сведения к задачам конечной размерности используется
центральное многообразие. Этот метод использует то обстоятельство, что в
задачах, подобных рассматриваемым в этой книге, решения притягиваются к
центральному многообразию конечной размерности. Оба метода хороши для
доказательства теорем существования. Их можно также использовать для
построения решений, но в действительности они приводят к громоздким
вычислениям. В своей книге мы систематически избегаем этих методов.
Вместо них мы применяем теорему о неявной функции для обоснования прямого
последовательного вычисления решений в виде степенных рядов по степеням
амплитуды, используя альтернативу Фредгольма как наиболее экономный
способ определения качественных основ свойств бифуркационных решений и их
вычисления.
Благодарности
Работа над этой книгой была начата во время посещения Дж. Йоссом
Миннесоттского университета в 1978 г. в соответствии с контрактом фирмы
Army Research Office in Durham. Большой благодарности заслуживает также
постоянная поддержка научных исследований Д. Джозефа из фонда Fluid
Mechanics program of N.S.F.
СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ
Все символы полностью определяются там, где они впервые вводятся. Для
удобства читателя некоторые из наиболее часто встречающихся символов
перечисляются в нескольких местах. Достаточно полный список приведен
ниже. Краткие списки, которые могут понадобиться в дальнейшем, помещены
во введениях к гл. IX и XI.
def
= равно по определению
N множество неотрицательных целых чисел (включая нуль)
(SJ* множество положительных целых чисел (без нуля)
2 множество положительных и отрицательных целых чисел (включая
нуль)
R множество вещественных чисел (вещественная прямая)
Rn множество упорядоченных л-наборов вещественных чисел; a?R"
можно представить в виде а = (аи ..., ап). Кроме того, R" - это евклидово
пространство С множество комплексных чисел
С" множество упорядоченных л-наборов комплексных чисел
(уз) множество л раз непрерывно дифференцируемых функций на
Можно также задать область значений этих функций Е посредством записи 'Sn
(9t/a; Е)
|| и || норма вектора и
А(-) линейный оператор
В(-,-) > билинейный оператор
С (¦,-,-)* трилинейный оператор
N (•) нелинейный оператор общего вида без постоянного и линейного
членов в окрестности нуля:
def
N (и) = В (и, и) + С(и, и, и) -f- Q (|| и ||)4
F ((, р, U) нелинейный оператор (см. начало гл. I)
f ((, р, и) редукция F к локальной форме, см. § 1.3
^и> Fии и т- Д- производные от F; см. §§ 1.6, 1.7
Fa(t, р, U01 -) линейный оператор, отвечающий производной от F,
вычисленной
при U = U0
о=5 + (т) собственное значение линейного оператора, применяемого при
ана-
лизе устойчивости решения к - еаТ множитель Флоке; см. § VII.6.2
<о; Т = 2жо частота w и период Т
е амплитуда бифуркационного решения
<а, Ь> скалярное произведение; <а, Ь> = <Ь, а>
[а, Ь] скалярное произведение для 2л-периодических функций
Глава I
РАВНОВЕСНЫЕ РЕШЕНИЯ ЭВОЛЮЦИОННЫХ
ЗАДАЧ
Мы будем изучать равновесные решения эволюционных уравнений вида
S-=FU,p,U), (1.1)
где t^O-время, а р-параметр, который лежит на вещественной прямой -оо <р
< оо. Неизвестной в (1.1) является U (t). F (t, p,U) - заданная
нелинейная функция или операторJ). Если F не зависит от t, то мы будем
