Элементарная теория устойчивости и бифуркаций - Йосс Ж.
Скачать (прямая ссылка):
§ XI. 15. Устойчивость субгармонических решений 278
§ XI. 16. Обзор результатов о субгармонической бифуркации в 282
автономном случае
§ XI. 17. Бифуркация тора в автономных нерезонансных случаях 283
§ XI. 18. Асимптотически квазипериодические решения на инвариантном 286
торе
§ XI. 19. Строго квазипериодические решения па бифуркационном торе 288
Послесловие 291
Все должно быть сделано настолько просто, насколько это возможно, но не
проще.
Альберт Эйнштейн
ПРЕДИСЛОВИЕ
В своей наиболее общей форме теория бифуркаций представляет собой теорию
равновесных решений нелинейных уравнений. Под равновесными решениями
понимаются, например, стационарные решения, решения периодические по
времени и квазипериодические решения. Цель этой книги - научить читателей
теории бифуркаций равновесных решений эволюционных задач, описываемых
нелинейными дифференциальными уравнениями. Мы написали ее для самой
широкой аудитории заинтересованных лиц: инженеров, биологов, химиков,
физиков, математиков, экономистов и всех, кто встречается в своей работе
с равновесными решениями нелинейных дифференциальных уравнений.
Мы считаем, что для достижения нашей цели нужно сделать из ложение, во-
первых, достаточно общим-с тем, чтобы его можно было применить к
огромному разнообразию задач, возникающих в науке и технике, и, во-
вторых, достаточно простым, чтобы оно было понятно читателям,
математическая подготовка которых не выходит за рамки классического
анализа, распространенного в прошлом столетии.
Естественно, полной гармонии между общностью и простотой достичь нельзя,
но, на самом деле, общая теория проще, чем детализированная, нужная для
конкретных приложений. В общей теории от конкретных задач берутся лишь
существенные свойства и строится основа, на которую должны опираться
детали приложений.
Принято считать, что для овладения математической теорией бифуркаций
необходимо знание основ функционального анализа и некоторых методов
топологии и динамики. Это убеждение несомненно справедливо, но его
полезно расшифровать, чтобы обосновать принятый в книге подход.
Использование функционального анализа в задачах бифуркации главным
образом связано с обоснованием возможности сведения задач высокой и даже
бесконечной размерности к одномерным или двумерным задачам. Такие задачи
низкой размерности связаны с проекциями на пространство собственных
функций, а в некоторых частных случаях (подобных тем, которые возникают в
вырожденных задачах, приводящих к разрушению симметрии бифуркации
стационарных решений) требуется анализ задач с размерностью больше двух.
Однако наиболее
6
ПРЕДИСЛОВИЕ
важны одно- и двумерные проекции. Они относятся к классу математических
задач, называемых бифуркацией в простом собственном значении.
Существование и структура бифуркации и устойчивости бифуркационных
решений полностью определяются при анализе нелинейных обыкновенных
дифференциальных или алгебраических уравнений, к которым приводят методы
редукции с использованием проекций. Поэтому наиболее простой способ
обучения - начать с описания задач низкой размерности и лишь затем
показать, как эти задачи получаются при проектировании задач высокой
размерности. Для первой части исследования нужны только классические
методы теории дифференциальных уравнений и теории функций. Во второй
части, составляющей содержание гл. VI и VII, анализ можно проводить
формально, не прибегая к более сложному математическому аппарату,
необходимому для полного обоснования теории. Само собой разумеется, что
все сделанные утверждения строго обоснованы в опубликованных работах; мы
на них ссылаемся и оставляем для дальнейшего изучения любознательным
читателям.
Быть может, полезно подчеркнуть, что мы сосредотачиваем внимание на
задачах, которые можно привести к одномерным или двумерным. В этих рамках
можно исследовать следующие типы бифуркаций: бифуркацию стационарных
решений в одномерном случае (гл. II) и для общих задач, которые можно
привести к одномерным (гл. VI); бифуркацию изолированных решений, которые
нарушают бифуркацию в одномерных задачах (гл. III), и бифуркацию для
общих задач, которые проектированием приводятся к одномерным (гл. VI);
бифуркацию стационарных решений из стационарных решений двумерных задач
(гл. IV и V) и для общих задач, которые проектированием приводятся к
двумерным (гл. VIII); бифуркацию субгармонических решений из Т-
периодических решений в случае Т-периодических правых частей уравнений
(гл. IX); бифуркационный тор "асимптотически квазипериодических" решений,
ответвляющихся от Т-периодических решений в случае Т-периодических правых
частей уравнений (гл. X), бифуркацию субгармонических решений и торов
самовозбуждаемых периодических решений (автономный случай, гл. XI). От
элементарной книги нельзя требовать большего, потому что даже в случае
достаточно простых систем трех нелинейных обыкновенных дифференциальных
уравнений возможна очень сложная динамика с турбулентноподобными
