Элементарная теория устойчивости и бифуркаций - Йосс Ж.
Скачать (прямая ссылка):
что U(1)(p0, /) = U(2'(p0, 0-
14
ГЛАВА I
Не все равновесные решения происходят от бифуркации. В нелинейных задачах
часто имеются изолированные решения и пересекающиеся ветви решений (см.
рис. II.7).
§ 1.6. Бифуркационные решения и линейная теория устойчивости
Для построения линейной теории сообщим равновесному решению малое
начальное возмущение. Если возмущение растет, то равновесное решение
неустойчиво, а если оно затухает, то равновесное решение устойчиво по
отношению к малым возмущениям. Оно может быть неустойчиво по отношению к
большим возмущениям; однако если оно устойчиво по отношению к малым
возмущениям, то не существует другого равновесного решения эволюционной
задачи, близкого к рассматриваемому решению. Поскольку решения, которые
ответвляются от данного решения, непрерывны по р, то часто (но не всегда)
справедливо заключение о том, что необходимым условием бифуркации
является неустойчивость равновесного решения по отношению к бесконечно
малым возмущениям. (Это необходимое условие верно для бифуркации с
простым собственным значением.) Теория устойчивости по отношению к
бесконечно малым возмущениям является линейной, потому что квадратичными
членами в возмущенных уравнениях пренебрегают по сравнению с линейными
членами.
Пусть, например, U(^, р)- решение (1.12), a 6v-возмущение U, где б -
постоянная. Тогда
dt
и поэтому
d\
dt
6^7= F (/, р, U (/, p) + 6v (t)) - F (/, p, U),
F (t, p, Cl -f- 6v)] 6 = o= Fu (?, p, И | v),
где Fu {t, P, Cl |•)-линейный оператор, линейный относительно переменной,
стоящей после вертикальной черты, который называется производной или
линеаризацией F, вычисленной для U (t, р). Точно так же f"(/, р, 01•) -
производная от f, вычисленная для решения и = 0, и
g = M/,p, 0| v) (1.17)х
определяет линеаризованное уравнение, приведенное к локальной форме. Для
упрощения обозначений будем писать
def .
U*. M-)=U*. i*. о|-)- (i. 17),
Решение u = 0 (1.14) называется асимптотически устойчивым, если v -> 0
при t-*¦ оо (см. §11.7).
РАВНОВЕСНЫЕ РЕШЕНИЯ ЭВОЛЮЦИОННЫХ ЗАДАЧ
15
§ 1.7. Обозначение для функционального разложения F (t, р, U)
Часто представляется удобным разлагать нелинейный оператор F ((, р, U) в
ряд Тейлора в окрестности вектора U0. Так,
F(t, Р, U" + v) = F ((, р, UoJ + FyCi, р, U"|v) +
+ YFuu(t> P. uol v|v) + jjFyyy(^ p, U0| v | v | v) +
+ 0(1 vf), (1.18)
где, например,
Fuu(t* P> U0 Ia I b) = Fj/y (t, p, U01 b | a) =
de^P2F (t, p, Цр + б^ + бгЬ) -J |g.
d6td62 e,=e,= o
- билинейный оператор, переводящий векторы в векторы. Fuvu(t, р, UoM v
|v) порождается трилинейным оператором точно таким же образом.
Многолинейные операторы, очевидно, симметричны относительно векторных
аргументов, стоящих справа от вертикальных черточек.
Если U (0 6 К", то функциональные производные можно выразить через
матрицы
{Fc/(/,p, и0|у)},- = {А(Ч Р, U")• v},=
= Aij(t, р, U) v/t
-§-{Рщ/(Ч P. Uol v | v)) = {B((, р, U0)-v-v} =
= Bi/k(t, р, U0)tyv (1.20)
^{?иииУ' I1- U01 v | v | v)}, = {C(t, p, U0) v• v• • v},- ==
~CiJkl (t, p,
где индексы пробегают значения от 1 до п; по повторяющимся индексам
производится суммирование; BiJk и Cijkl симметричны по отношению к
перестановке индексов, следующих за i.
Точно такие же разложения имеют место в случае, если задача приведена к
локальной форме. В этом случае (см. (1.17)2) имеем
d? = \ (t, Р, и) = ф,(Л p|u) + yf"tt((, Р | U | U) "Т jjj f ияа ((,
Р|и|и|и) + ...
(1.21)
и в R"
f ((, р, и) = А (/, р) и + В((, р)-и и + С-и и-и... . (1-22)
16
ГЛАВА I
Замечания
Теория бифуркаций применима, вообще говоря, к нелинейным задачам не
только когда бифуркационными решениями являются равновесные решения
эволюционных задач типа (1.1), но также и в случае интегральных
уравнений, нелинейных алгебраических и функциональных уравнений, интегро-
дифференциальных и функционально-дифференциальных уравнений, особенно
уравнений с запаздыванием, в которых важно влияние памяти; например,
i
I ° F ^u ^ dT'
- 00
Теория, развиваемая в этой книге, может служить руководством при
исследовании других задач; во многих случаях требуется внести только
незначительные и очевидные изменения.
Наличие в (1.1) производной по времени важно для определения равновесных
решений и анализа их устойчивости. Например, в следующей главе будет
показано, что теория бифуркаций плоских кривых F (р, е) = 0 представляет
собой не что иное, как исследование особых точек этих кривых. Анализ
особых точек этих кривых может быть связан с устойчивостью, однако эта
связь несущественна и не является внутренней. Задача устойчивости зависит
от того, является ли система диссипативной или консервативной.
Консервативные системы являются более трудными в гом смысле, что их малые
возмущения не затухают. В этой книге будут рассматриваться только
диссипативные системы.
Имеется много работ и несколько монографий, посвященных задачам,
бифуркации. Слово бифуркация, или Abzweigung, видимо, введено К. Якоби
(Uber die Figur des Gleichgewichts, Pogg. Ann., 32, 229 (1834)) в его
