Элементарная теория устойчивости и бифуркаций - Йосс Ж.
Скачать (прямая ссылка):
исследовании бифуркации сфероидальных фигур равновесия (эллипсоидов
Маклорена) самогравити-рующих вращающихся тел. Французское слово
bifurcation введено А. Пуанкаре (Sur l'equilibre d'une masse fluide
animee d'un mouvement de rotation, Acta Math., 7, 259-380 (1885). Имеется
много книг и монографий, посвященных задачам бифуркации и устойчивости.
Большинство из них не элементарны или если элементарны, то слишком
специфичны - относятся к анализу частных прикладных задач, и хотя эти
исследования достойны похвалы, они содержат много деталей анализа
конкретных задач, которые не являются центральными в задачах бифуркации и
устойчивости Ниже приводится неполный список обзорных статей, отдельных
работ, книг и монографий, которые могут помочь студентам после овладения
ими элементарной теорией.
ЛИТЕРАТУРА
Аманн, Бэйзли, Кирхгэснер (Amann Н., Bazley N.. Kirchgassner К-)
Applications of nonlinear analysis in the physical science. Boston -
London - Melbourne: Pitman, 1981.
Арнольд В. И.
Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений.- М.:
Наука, 1978.
Вайнберг М. М., Треногин В. А.
Методы Ляпунова и Шмидта в теории нелинейных уравнений и их дальнейшее
развитие.- УМН, 17:2 (1962), 13-75.
Гурел, Росслер (Gurel О., Rossler О., eds.)
Bifurcation theory and its applications in scientific discipines.- Annals
of the New York Academy of Sciences, 316, 1979.
Джозеф (Joseph D. D.)
Stability of fluid motions, I and II.- Springer Tracts in Natural
Philosophy. Vol. 27 and 28. Berlin - Heidelberg-New York: Springer-
Verlag, 1976.
РАВНОВЕСНЫЕ РЕШЕНИЯ ЭВОЛЮЦИОННЫХ ЗАДАЧ
17
[Имеется перевод: Джозеф Д. Устойчивость движений жидкости.- М.: Мир,
1981.]
Йосс (Jooss G.)
Bifurcation of maps and applicatios. Lecture Notes, Mathematical Studies.
Amsterdam: North-Holland, 1979.
Келлер, Антман (Keller J., Antman S., eds.)
Bifurcation theory and nonlinear eigenvalue problems. New York: W. A.
Benjamin, 1969.
Красносельский M. A.
Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений.- М.:
Гостехиздат, 1956.
Марсден, Мак-Кракен (Marsden J., McCracken М.)
The Hopf bifurcation and its applications. Lecture notes in applied
mathematical sciences. Vol. 18. Berlin-Heidelberg-New York: Springer-
Verlag, 1976. [Имеется перевод: Марсден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация
рождения цикла и ее приложения.- М.: Мир, 1981.]
Пимбли (Pimbley G. Н.)
Eigenfunction branches of nonlinear operators and their bifurcations.
Lecture notes in mathematics No. 104. Berlin - Heidelberg-New York:
Springer-Veriag, 1969.
Рабиновиц (Rabinowitz P., ed.)
Applications of bifurcation theory. New York: Academic Press, 1977.
Саттингер (Sattinger D. H.)
Topics in stability and bifurcation theory. Lecture notes in mathematics
No. 309. Berlin - Heidelberg - New York: Springer-Verlag, 1972.
Group theoretic methods in bifurcation theory. Lecture notes in
mathematics No. 762. Berlin - Heidelberg -New York: Springer-Verlag,
1980.
Стакгольд (Stakgold J.)
Branching of solutions of nonlinear equations. SIAM Review B, 289 (1971).
Хакен (Haken H., ed.)
Synergetics. Berlin -Heidelberg -New York: Springer-Verlag, 1977.
[Имеется перевод: Синергетика.- М.: Мир, 1980,]
Глава II
БИФУРКАЦИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ СТАЦИОНАРНЫХ РЕШЕНИЙ ОДНОМЕРНЫХ ЭВОЛЮЦИОННЫХ
УРАВНЕНИЙ
Рассмотрим эволюционное уравнение в R1 вида
%Г = Р(ц,и),
(II.1)
где F (• ,•) имеет две непрерывные производные по р и и. При исследовании
устойчивости и бифуркации принято считать, что
для всех вещественных чисел р.
Однако мы не будем требовать выполнения условия (11.2). Вместо этого
потребуем, чтобы равновесные решения уравнения (II. 1) независимо от t
удовлетворяли условию " = е и
Исследование бифуркации равновесных решений автономной задачи (II. 1)
эквивалентно исследованию особых точек кривых (11.3) на (р, е)-плоскости.
§ 11.1. Теорема о неявной функции
Теорема о неявной функции является основным математическим результатом,
используемым в теории бифуркаций. В наиболее простой форме эту теорему
можно сформулировать следующим образом.
Пусть /г(р0, в0)= , и пусть F-функция, непрерывно дифференцируемая в
некоторой открытой области (р, г)-плоскости, содержащей точку (р0, е0).
Тогда если Fe(p0, гп) фЬ, то существуют а>0 и (3 > 0, такие что:
(1) Уравнение F (\i, в) = 0 имеет единственное решение е = е(р), когда
р0-а<р<р0 + а, такое что е0-13 < е < e0-f |3.
(2) Функция е(-) непрерывно дифференцируема при р0-а < р < < р0 + а.
(3) Е|а,(ц) = -^(р, еМУГЛИ, е(р)).
Замечание 1. Уравнение можно разрешить относительно р(е), если F"(p0,
е0)^о.
Г(р, 0) = 0
(П.2)
^(p, е) = 0.
(II.3)
БИФУРКАЦИЯ и УСТОЙЧИВОСТЬ СТАЦИОНАРНЫХ РЕШЕНИЙ 19
Замечание 2. Если F - аналитическая функция, то аналитическими будут р
(е) или е (р).
Замечание 3. Предположим, что нам нужно решить уравнение
/Др, е(1>.....в(в)] = 0
относительно р. Если F (р0, ej,1', ..., е1о')=0 и /Д (р0, е^1', ...,
е&п>) ^=0, то выполняются условия теоремы о неявной функции, при этом
