Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Йосс Ж. -> "Элементарная теория устойчивости и бифуркаций" -> 5

Элементарная теория устойчивости и бифуркаций - Йосс Ж.

Йосс Ж., Джозеф Д. Элементарная теория устойчивости и бифуркаций — М.: Мир, 1983. — 301 c.
Скачать (прямая ссылка): elementarnayateoriyaustoychivosti1983.djvu
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 < 5 > 6 7 8 9 10 11 .. 102 >> Следующая

опускать t и писать F (р, U). Уравнение (1.1) описывает эволюцию U (/),
порождаемую ее начальным значением U (0)== и0. Равновесным решением
является решение, к которому стремится U (/) после сообщения системе
начальных возмущений. Необходимо точнее определить, что означают U (t), F
(t, р, U) и равновесное их решение. Это уточнение связано с некоторыми
предварительными объяснениями и определениями.
§ 1.1. Одномерная, двумерная, я-мерная и бесконечномерная интерпретации
уравнения (1.1)
В одномерных задачах U(t)-скаляр, -оо < (У < оо, a F(t, р, U)- скалярная
функция от (t, р, U). Например, в грубом приближении экологической
логистической задачи U может означать плотность комаров в Миннесоте, а р-
имеющийся в наличии запас пищи. Скорость возрастания плотности комаров
дается нелинейной функцией F (р, U). Популяция комаров возрастает, если F
> 0, убывает, если F < 0, и находится в равновесии, если F(р, U) = 0. Для
равновесного распределения запас пищи р и плотность популяции U связаны
соотношением F = 0. Может существовать много равновесных распределений;
например,
Г(р, U) = (a1(\i) - Д)(а2(р) - U) . . . (ап{ц) - Щ (1.2)
может иметь п равновесных распределений, каждое из которых соответствует
равенству нулю одного из множителей: ог (р) = U.
1) Здесь предполагается, что F зависит от текущего значения функции И (t)
и не зависит от ее предыстории. Относительно более общих случаев см.
замечания к гл. I.
10
ГЛАВА I
Определение равновесных распределений ничего не говорит нам о том, какой
плотности комаров следует ожидать при имеющемся количестве доступной для
них пищи (человеческой крови), потому что некоторые равновесные
распределения неустойчивы и будут нарушены при действии возмущений.
Поэтому необходимо найти не только равновесные распределения, но и
исследовать их устойчивость.
В двумерных задачах U (t)-это двумерный вектор с компонентами (Ur{t),
Ui(t)), a F (t, р, U) - вектор-функция, компоненты которой [Г, (t, р,
t/lf иг), Ft(t, р, иг, t/2)] суть нелинейные функции компонент U. Такие
же самые обозначения приняты для /г-мер-ных задач при " > 2; в этом
случае векторы имеют " компонент.
Мы будем употреблять обычные математические обозначения и определим
(R1, R2, R") = (вещественная прямая, плоскость,
"-мерное пространство).
Скаляры принимают значения в R1, а "-мерные векторы-значения в R". Обычно
для R1 упрощают обозначение и не указывают верхний индекс: R* = R.
В математике также принято говорить о бесконечномерных задачах, однако,
вообще говоря, это означает нечто большее и нечто иное, чем " ->-оо. В
бесконечномерной задаче мы считаем, что U = U (*!, . . ., х", t)-это поле
в "-мерной (обычно размерности ^3) области <2/э пространства (х1; ...,
хп) и что F (t, р, U)-оператор с операциями над пространственными
переменными хг, хг, ..., хп, который отображает векторные поля в <2/э в
векторные поля в СУ3. Этому описанию соответствуют уравнения с частными
производными и интегральные уравнения. Для уравнений с частными
производными необходимо добавить к (1.1) граничные условия. Например, в
задачах реакции и диффузии, включающих " полей (для " видов) С; (х, t) в
температурном поле Т (х, t), определенных в области У(r) трехмерного
физического пространства, эволюция (л + 1)-мерного векторного поля U (х,
t) - (C1 (х, t), С2 (х, t), . .., Сп (х, t), Т (х, t)) = = (U1(x, t),
U2(x, t), ..., ?/"+, (x, t)) описывается уравнением
f = F(l,(i, U), т. e. (tm)j*=Fa(t,VL, U), "=1,2.............n+1, (1.3)
где
Fait, p, U) = V-(Ax[3V) Uf> + ga(\i, U) + Mx, t, p); (I.4)1)
(Д*) - (n + О X(n+ 1)-матрица коэффициентов диффузии;
ga(p, U)-нелинейная функция от p и U, ga(p, 0) = 0; (1.5)
ha(x, t, p)-заданная функция от p и t.
x) Здесь мы пользуемся соглашением о повторяющихся индексах. По
повторяющемуся индексу производится суммирование на всем диапазоне его
изменения: Da$u$ =DaiUi-^D(x2ii2-\-Dahlia.
РАВНОВЕСНЫЕ РЕШЕНИЯ ЭВОЛЮЦИОННЫХ ЗАДАЧ
11
На границе дУ3 области 'У3 с внешней нормалью п заданы некоторые линейные
комбинации нормальных производных и значений компонент U:
(nV)MaP(x, t, р) Up + Wap(x, t, р) Up = Pa(x, t, p), (1.6)
где Map и Nap-квадратные матрицы, а Pa(x, t, р) заданы. Эта задача
бесконечномерна, потому что определена для каждого из бесконечно большого
числа значений х из У3.
Другим примером служат уравнения Навье-Стокса для однородной несжимаемой
жидкости. Здесь (1.1) можно взять в форме уравнения для вихря (o = rotV,
где V (х, t)-скорость, v-кинематическая вязкость и
^ = vV2<o + ((d-V)V-(V-V)(d + P(x, t, Р), (1.7)
(D = rotV, divV = 0,
где р(х, t, р)-заданный вынуждающий член. Решения (V, ю) (1.7)
вместе с налагаемыми на V граничными условиями, скажем
V (х, 0 = Ф(х, t, р) для х^дУ3, (1.8)
определяют V (х, t) в У3.
Здесь уместно отметить, что во многих случаях задачи высокой размерности
можно свести к одно- или двумерным задачам (см., например, гл. VI и
VIII).
§ 1.2. Нетривиальные решения; стационарные и Г-периодические решения;
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 < 5 > 6 7 8 9 10 11 .. 102 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed