Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Теорема 4. Пусть ?<, teT, — стохастически непрерывный, случайный процесс. Тогда существует стохастически эквивалентный ему сепарабельный процесс 11, t^T, принимающий значения в расширенной числовой прямой [—оо, оо]; при этом
5 А. Д. Вентцель
129
в качестве множества сепарабельности Т0 может быть выбрано любое всюду плотное в Т счетное подмножество.
Док азательство. Разумеется, для (еГо мы оставляем как есть: ff = Ь- Для /е Т\Т0 мы оставляем It = ?i, если попадает в множество частичных пределов при s-*-t, seTo; если же 11 не попадает в это множество, то полагаем | = lim При этом нужно доказать три вещи. Во-первых,
‘ S —> t
S S Г„
что таким образом получится случайный процесс; для этого достаточно доказать измеримость множества At = {?/ не принадлежит множеству частичных пределов яри s->-t, se Го) и
измеримость функции lim S,s, которая ясна, так как эта функ-s->t
ция равна inf sup
m | s — 11 < I/m se=Ta
Задача 4. Докажите, что
Л,= U {o<St<P}n П U {^(а,Р)}
а<? а, (3 рац.
пг = 1 | s -
t | < I/m Т„
Во-вторых, нужно проверить, что полученный процесс сепарабелен; но это ясно. В-третьих, — что он стохастически эквивалентен первоначальному; для этого достаточно доказать, что
(Р)
Р (Л^) = 0. Но это вытекает из того, что ^ при s-+t,
se Го, а значит, существует последовательность е Го,
такая, что = lim почти наверное.
1 оо 1п
Замечание 1. Если рассматривать только процессы, принимающие числовые значения (без ±°о), то утверждение теоремы неверно, и по понятным причинам (постройте пример!).
Замечание 2. Разумеется, в качестве Т можно взять любое сепарабельное метрическое пространство, а не только часть Rl\ в качестве пространства X, в котором лежат значения — компакт (вместо интервалов с рациональными концами нужно тогда брать счетную базу открытых множеств).
Замечание 3. Если процесс не стохастически непрерывен, то, оказывается, у него тоже есть сепарабельная модификация, только множество сепарабельнссти То нельзя выбирать произвольным всюду плотным в Т подмножеством (см. Дуб (1956, гл. II, § 2, теорема 2.4)).
Теорему Колмогорова и микротеорему п. 3 можно переформулировать следующим образом: если процесс сепарабелен и если выполнено условие (1) (или Р = 1 при s sg t
и т.п.), то почти все реализации процесса непрерывны (монотонны, ...).
Однако польза от рассмотрения свойства сепарабельности не так уж значительна, потому что, разбивая задачу о свойствах с вероятностью 1 на две, мы получаем одну задачу слишком легкой, а другую ненамного легче первоначальной.
130
§ 5.3. Абсолютная непрерывность бесконечномерных распределений и плотности
Для единообразия в этом параграфе всюду рассматриваются распределения на (Хт,с&т).
Распределения случайных функций — меры на (Хт,??т), и, естественно, имеет смысл говорить об абсолютной непрерывности одного распределения относительно другого, сингулярности и т. п. Помимо теоретической важности, все эти понятия также очень важны для задач математической статистики, связанных со случайными процессами. В этом параграфе материал дается в основном в виде задач — и типа упражнений, и типа микротеорем.
В задачах общего характера всюду приняты следующие обозначения: (д, — распределение случайной функции It, t е Т, на вероятностном пространстве (Q, 5Г, Р); |д/— распределение случайной функции r\t, t^T, на (?У, Эг', Р') (случайные функции it и г]/ принимают значения в одном и том же измеримом пространстве); |х, , и , —соответствующие ко-
1 п I ¦¦ п
нечномерные распределения.
1. Задача 1. Докажите, что распределения следующих процессов на Г = [0, 1] сингулярны относительно друг друга: ви-неровского процесса wt, процессов |< = wt + 1 и r\t = 2wt.
Указание. Чтобы доказать сингулярность, скажем, и , достаточно придумать .^-измеримый функционал f такой, что f( 1.) принимает с вероятностью 1 какое-нибудь одно значение a, a —с вероятностью 1 значение Ь ф а. Тогда для
множества Са = {х.: f (х,) = а] будет (Са) = 1, fiT)>(Ca) = 0,
а для его дополнения \ Са) = 0- (/?г \ Са) = 1.
Если распределение абсолютно непрерывно относительно ц, то существует плотность h (х.) = = ц' (dx.)/n (dx.), измеримая относительно с8т\ для любого С е 9вт
ц' (С) = jj h (х.) ц (dx.). (1)
с
В силу известных свойств интеграла Лебега при этом для любой .^-измеримой функции f
^ f (х.) |i' (dx.) = ^ f (х.) h (*.) ц (dx.), (2)
хт хт
5*
131
причем если один из этих интегралов расходится, то и другой тоже. Пользуясь формулой (1) § 5.1, формулы (1) и (2) можно переписать в виде