Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
где я = Л(?.)> М'—математическое ожидание, соответствующее вероятностной мере Р'. Легко видеть, что я — неотрицательная случайная величина, измеримая относительно &~it, t <= г, с Мя= 1.
Задача 2. Чтобы неотрицательная ^-измеримая функция h(х.) была плотностью распределения случайной функции г]/, t^T, на пространстве (?2', $Г’, Р') относительно распределения случайной функции (еГ, на (Q, 5Г, Р), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство
для любых /ь . .., tn е Т, A е $вп, где я (со) = h (?. (со)).
Задача 3. Для того чтобы распределение ц' было абсолютно непрерывно относительно ц, достаточно, чтобы для любого е > 0 существовало б > О такое, что для любых t\, ..., tn^T, /4е 3?п из ц. / (^) < б следует неравенство ц, , (Л) < е.
I п 1 1 П
Задача 4. Для того чтобы распределения jj, и ц' были сингулярны, достаточно, чтобы для любого е>0 существовали t\, ..., („еГ, У1еР такие, что
Задача 5. Пусть wt — винеровский процесс, выходящий из нуля; = wt + bt. Докажите, что распределение процесса ?<, 0< / < 1, абсолютно непрерывно относительно распределения wt,
Задача 6*. Докажите, что условия абсолютной непрерывности и сингулярности задач 3, 4 не только достаточны, но и необходимы.
Если при каких-то /ь ..., tn распределение \n't t не абсолютно непрерывно относительно
ц* t , то ясно, что бесконечномерное распределе-
Р'{л.еС} = Мх;
{T|.eLj = IVlx{5ieC)it, М7(т].) = М/(Уя,
(3)
(4)
ц, t (А)> 1 -е, ц' t (Хп\А)> 1-е.
1 п 1 • * • п
132
ние \i' не абсолютно непрерывно относительно ц; если же все конечномерные распределения (д/ , аб-
1 . .. I п
солютно непрерывны относительно \xt t , то рас-
пределение ц' может быть и абсолютно непрерывно относительно ц, и нет, и даже сингулярно. Случай, когда для всех конечномерных распределений имеет место абсолютная непрерывность, самый интересный. Введем в этом случае обозначение
\it t (dxx ... dx А
......*->= A?- ®
Задача 7. Если при некотором О < а < 1 для любого е >0 существуют tu ..., tn^T такие, что
5 • • • 5 [\ ... tn (*i> ¦ • • - xn)f 1**,... tn (dxi • ¦ ¦ dxn) < е>
хп
(6)
то распределения ц. и ц' сингулярны по отношению друг к другу.
Задача 8. Пусть 0^^^ 1, — процесс Коши (см. п. 4 § 1.2), т|; = \t + ct, 0 ^ t sS 1. Докажите, что при с ф 0 распределения [ig и [ijj сингулярны относительно друг друга.
Подставим в функцию ht t {х\, ..., хп) значения xt , • • ¦, xtn произвольной функции х. ^ Хт. Легко видеть, что при перестановке tu ..., tn функция ht t (xt ..... Xt ) меняется только на множестве
1 ' ’ ' П \ 1 ti)
ц-меры 0, и можно выбрать варианты плотности (5), чтобы htx...tn{xtl, ..., х<п) зависело только от х. и от множества S={Y1( tn} s Т. Обозначим эту
функцию hs:
hs (х.) = h{tv .... tn} (x.) = htl... tn (xt{, ..., xtn).
Это — плотность распределения ц' относительно ц, но не на всей ст-алгебре $вт, а только на ее под-ст-алгебре 8&S(XT), порожденной функционалами х^, ..., xt (т. е. состоящей из множеств вида {х.: (х^, ..., х^)е е Л}, А е Wn). (Докажите!)
133
Интеграл в формуле (6) записывается через /г$(хш)
как
^ lAs (*.)]“ (dx,).
Х'Г
Условие задачи 7 можно переписать также, пользуясь интегралами по ?2 вместо интегралов по Хт. Введем для каждого конечного S = {ti, ..., t„) ? Т случайную величину
¦H's ^ ^s (?.) = ^ltl... tn •¦•> ^„)-
Интеграл в формуле (6)—не что иное, как Мя“.
2. Теперь займемся вопросом о том, как плотность h(X') бесконечномерных распределений находить по плотностям конечномерных — по Л* ... tn [х\, ..., хп) или hs(X'); или, что то же, как находить л — к(1Ф) по введенным выше случайным величинам л s.
Может оказаться, что, когда берутся конечные множества S, все более плотно заполняющие Т, величина its сходится к какой-то случайной величине я* (скажем, сходится по вероятности). Введем соответствующие определения.
Пусть a(S) — числовая функция от конечных подмножеств множества Т. По определению число а — предел a (S) при неограниченно возрастающем S (обозначения; a(S)-+a при Sf или lim а (5) = а), если
st
для любого е > 0 существует конечное множество S0^T такое, что |a(S)—а ] < е для всех S, S0 ? ?= 5 ? 7\ В соответствии с этим определяется сходимость по вероятности: пусть ?(S)—случайная функция, определенная на конечных подмножествах 7; тогда I = lim (Р) I (S), если lim Р {11 (S) — ?,1> е} == 0 для Sf st
любого е > 0.
Итак, предположим, что существует случайная величина
я* = lim (Р) л5.
Может показаться, что если такой предел существует, то распределение \i' абсолютно непрерывно относительно ц и совпадает (почти наверное) со случайной величиной я, получаемой подстановкой выбо-
