Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
142
^ h~2\t — s|. Пользуясь неравенством (а + Р)4^ ^ 8а4 + 8р4, получаем оценку:
M[S?-^]4< 8(2Л)4+8М/г4(^+1 + ... + Е,)4.
Задача 2. Установите, что М (^ + i + ... + hY = = 3(1—k)2 —2(1 —k).
Для нахождения этого момента можно непосредственно раскрыть скобки и подсчитывать математические ожидания произведений ?г?/?и?0 разного сорта и численности; а можно четыре раза продифференцировать в нуле характеристическую функцию / \ >1 iz (?&-h+ ••• +^) i-ь
4W-+^2) = Me =cos 2-
Итак, при — s| > h2 М [S* - S*]4 < 128h4 + 24/г4 (I - k f <
< 128 (/ — s)2 + 24 (t — s)2 = 152 (/ — s)2.
Такое же неравенство, как мы видели, выполняется и при 11 — s | ^ /г2.
Применение только что доказанной теоремы дает нужную компактность.
4. Как применяется относительная компактность, показывает
Теорема 3. Пусть {[ih, h > 0}—относительно компактное семейство вероятностных мер в метрическом пространстве Х\ g — некоторое множество ограниченных непрерывных функций / на X. Пусть для
любого /eg существует lim \ fdixh. Тогда существует
л-и J
вероятностная мера v на X такая, что Пт\/с?|лл= = ^ /dv для любого /eg. Если не существует другой меры v' на X такой, что ^ / dv' = ^ fdv для любого /eg, то \xh->-v при h\0 в смысле слабой сходимости.
Доказательство. Мера v, о которой говорится в первом утверждении теоремы,—слабый предел подпоследовательности [ihn, где /z„ j 0. Вторая часть теоремы: если nh-fr-v, то существует непрерывная ограниченная функция /0 такая, что ^ fQd\ih-f*
143
-/*~^f0dv. Можно выбрать подпоследовательность
мер ц*" такую, что | ^ /0 d\ihn—^f0dx >е>0, h'n\ 0. Из нее можно выбрать подпоследовательность h"n | 0
такую, что ц. >-v'. Легко видеть, что v'ф v. При
этом для любого / е § имеем: ^ / dv' = lim \fd\i п=
J п -> оо J
= lim \ / d\ih = lim \ / d(iA" = \ / dv, а отсюда выте-
/l^OJ п-> оо J J
кает, что v' = v. Полученное противоречие доказывает теорему.
Частные случаи. 1) Теорема о взаимной непрерывности соответствия между характеристическими функциями и распределениями. Здесь g—множество всех функций f(x) вида eizx, z^Rx. Из теоремы единственности получается теорема непрерывности.
2) Теорема 4. Пусть X — метрическое пространство, состоящее из функций х. на множестве Т со значениями в метрическом пространстве X; пусть его борелевская о-алгебра х совпадает с а-алгеброй &тх (X), порожденной цилиндрическими множествами. Пусть для любого t отображение X в X, ставящее в соответствие функции хш ее значение xt в точке t, непрерывно.
Тогда для сходимости семейства вероятностных мер \хн на X достаточно относительной компактности семейства {И"} и слабой сходимости всех соответствующих конечномерных распределений ц* t на
(Хп, ‘),
Доказательство. В качестве % берем множество функционалов вида F(xm) = f(xtl, - xtn). Утверждение вытекает из того, что мера на (Хп, &х) однозначно задается интегралами по ней от всех непрерывных ограниченных непрерывных функций, а распределение в (X, &х(Х)) однозначно задается соответствующими конечномерными распределениями.
Применим это к распределениям случайных ломаных S?. Установим, что при /zj-О их конечномерные распределения сходятся к гауссовским, и найдем, к каким именно (с какими параметрами). Достаточно для
144
любых 0 fi < jf2 < ... < tn найти предельное распределение для Stt, St2 — S?t, ..., Stn—S^n_r Эти случайные величины не более, чем на 2h, отличаются от h(lx + ... + + • • • +
+V%]’ A(Vv.i+* + "¦ +Vm); npe~
дельное распределение у них — то же. Эти суммы — первая, вторая, ..., п~я—независимы друг от друга. Из центральной предельной теоремы вытекает, что они имеют в пределе нормальное распределение с нулевым средним и дисперсиями соответственно t\, ^2 — t\, ..., tn — tn_x.
Задача 3. Пусть ..., ц*—;*vn при Л|0.
Тогда мера X • - • X (совместное распределение п независимых случайных величин с распределениями ц*, ..., ц*) при h 10 слабо сходится
К V, X • • • X v„.
Это вместе с предыдущими результатами дает следующую теорему.
Теорема 5. Распределения \ih случайных ломаных S* в пространстве С [О, Т\ при /г|0 имеют предел. Этот предел — распределение в этом пространстве винеровского процесса, выходящего из нуля.
Между прочим, это — еще один метод установления существования винеровского процесса. Но важно не это, а важно, что отсюда сразу вытекает огромная масса различных предельных теорем; для любого функционала F из С (С) (пространства ограниченных непрерывных функционалов на пространстве непрерывных функций) получаем, что
lim bAF (sh) = MF(w )
Л| О V •' V •'
(обратите внимание, что математические ожидания в левой и в правой частях действуют на случайные величины, определенные, вообще говоря, на разных вероятностных пространствах: слева — на пространстве, на котором определены независимые случайные величины справа — на пространстве, на котором определен винеровский процесс). В частности, для любой непрерывной функции с(лс)
