Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Вентцель А.Д. -> "Курс теории случайных процессов " -> 49

Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.

Вентцель А.Д. Курс теории случайных процессов — М.: Наука, 1996. — 400 c.
Скачать (прямая ссылка): kursteoriisluchaynihprocessov1996.pdf
Предыдущая << 1 .. 43 44 45 46 47 48 < 49 > 50 51 52 53 54 55 .. 146 >> Следующая


Теорема 4. Пусть ?<, teT, — стохастически непрерывный, случайный процесс. Тогда существует стохастически эквивалентный ему сепарабельный процесс 11, t^T, принимающий значения в расширенной числовой прямой [—оо, оо]; при этом

5 А. Д. Вентцель

129
в качестве множества сепарабельности Т0 может быть выбрано любое всюду плотное в Т счетное подмножество.

Док азательство. Разумеется, для (еГо мы оставляем как есть: ff = Ь- Для /е Т\Т0 мы оставляем It = ?i, если попадает в множество частичных пределов при s-*-t, seTo; если же 11 не попадает в это множество, то полагаем | = lim При этом нужно доказать три вещи. Во-первых,

‘ S —> t

S S Г„

что таким образом получится случайный процесс; для этого достаточно доказать измеримость множества At = {?/ не принадлежит множеству частичных пределов яри s->-t, se Го) и

измеримость функции lim S,s, которая ясна, так как эта функ-s->t

ция равна inf sup

m | s — 11 < I/m se=Ta

Задача 4. Докажите, что

Л,= U {o<St<P}n П U {^(а,Р)}

а<? а, (3 рац.

пг = 1 | s -

t | < I/m Т„

Во-вторых, нужно проверить, что полученный процесс сепарабелен; но это ясно. В-третьих, — что он стохастически эквивалентен первоначальному; для этого достаточно доказать, что

(Р)

Р (Л^) = 0. Но это вытекает из того, что ^ при s-+t,

se Го, а значит, существует последовательность е Го,

такая, что = lim почти наверное.

1 оо 1п

Замечание 1. Если рассматривать только процессы, принимающие числовые значения (без ±°о), то утверждение теоремы неверно, и по понятным причинам (постройте пример!).

Замечание 2. Разумеется, в качестве Т можно взять любое сепарабельное метрическое пространство, а не только часть Rl\ в качестве пространства X, в котором лежат значения — компакт (вместо интервалов с рациональными концами нужно тогда брать счетную базу открытых множеств).

Замечание 3. Если процесс не стохастически непрерывен, то, оказывается, у него тоже есть сепарабельная модификация, только множество сепарабельнссти То нельзя выбирать произвольным всюду плотным в Т подмножеством (см. Дуб (1956, гл. II, § 2, теорема 2.4)).

Теорему Колмогорова и микротеорему п. 3 можно переформулировать следующим образом: если процесс сепарабелен и если выполнено условие (1) (или Р = 1 при s sg t

и т.п.), то почти все реализации процесса непрерывны (монотонны, ...).

Однако польза от рассмотрения свойства сепарабельности не так уж значительна, потому что, разбивая задачу о свойствах с вероятностью 1 на две, мы получаем одну задачу слишком легкой, а другую ненамного легче первоначальной.

130
§ 5.3. Абсолютная непрерывность бесконечномерных распределений и плотности

Для единообразия в этом параграфе всюду рассматриваются распределения на (Хт,с&т).

Распределения случайных функций — меры на (Хт,??т), и, естественно, имеет смысл говорить об абсолютной непрерывности одного распределения относительно другого, сингулярности и т. п. Помимо теоретической важности, все эти понятия также очень важны для задач математической статистики, связанных со случайными процессами. В этом параграфе материал дается в основном в виде задач — и типа упражнений, и типа микротеорем.

В задачах общего характера всюду приняты следующие обозначения: (д, — распределение случайной функции It, t е Т, на вероятностном пространстве (Q, 5Г, Р); |д/— распределение случайной функции r\t, t^T, на (?У, Эг', Р') (случайные функции it и г]/ принимают значения в одном и том же измеримом пространстве); |х, , и , —соответствующие ко-

1 п I ¦¦ п

нечномерные распределения.

1. Задача 1. Докажите, что распределения следующих процессов на Г = [0, 1] сингулярны относительно друг друга: ви-неровского процесса wt, процессов |< = wt + 1 и r\t = 2wt.

Указание. Чтобы доказать сингулярность, скажем, и , достаточно придумать .^-измеримый функционал f такой, что f( 1.) принимает с вероятностью 1 какое-нибудь одно значение a, a —с вероятностью 1 значение Ь ф а. Тогда для

множества Са = {х.: f (х,) = а] будет (Са) = 1, fiT)>(Ca) = 0,

а для его дополнения \ Са) = 0- (/?г \ Са) = 1.

Если распределение абсолютно непрерывно относительно ц, то существует плотность h (х.) = = ц' (dx.)/n (dx.), измеримая относительно с8т\ для любого С е 9вт

ц' (С) = jj h (х.) ц (dx.). (1)

с

В силу известных свойств интеграла Лебега при этом для любой .^-измеримой функции f

^ f (х.) |i' (dx.) = ^ f (х.) h (*.) ц (dx.), (2)

хт хт

5*

131
причем если один из этих интегралов расходится, то и другой тоже. Пользуясь формулой (1) § 5.1, формулы (1) и (2) можно переписать в виде
Предыдущая << 1 .. 43 44 45 46 47 48 < 49 > 50 51 52 53 54 55 .. 146 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed