Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
134
рочной функции в бесконечномерную плотность. Однако это не обязательно так, хотя бы потому, что Мя’ может быть не равно 1.
Задача 9. Докажите, что Мя*^1.
Задача 10. Если распределение ц/ абсолютно непрерывно относительно jj, то Мя* = 1. Докажите.
Задача 11. Докажите: если Мя*=1,то распределение ц' абсолютно непрерывно относительно ц,
и я’ = я = /г(?.) (почти наверное), где h (xj — •
Задача 12*. Распределения [i и ц' сингулярны относительно друг друга тогда и только тогда, когда Мя* = 0 (иначе говоря, когда я* = 0 почти наверное).
В § 7.4 мы докажем, что предел случайных величин its, связанных с плотностями ji' относительно |х на 0-алгебрах 3ES(XT), существует почти наверное для любой неубывающей последовательности конечных множеств 5„ s Т. Однако при решении конкретных задач нам не нужно ссылаться на этот общий факт, потому что существование предела its нами так или иначе все равно будет устанавливаться.
Задача 13. Пусть ш(, /е [0, 1], — винеровский процесс, т]/ = wt — ctwi (с — константа). При каких с имеет место абсолютная непрерывность о носительно и как выражается
плотность?
В приведенных до сих пор задачах мы сталкивались только с крайними ситуациями: оба распределения либо абсолютно непрерывны относительно друг друга, либо сингулярны. Это совершенно не обязательно.
Задача 14. Пусть \t, (е [0, 1], — пуассоновский процесс с параметром а > 0; r\t = 0, /е [0, 1]. Будут ли определения |Xg , абсолютно непрерывны относительно друг друга? Най-
дите плотность распределения относительно |Х| .
Следующая задача важна, в частности, для теории
диффузионных процессов. Это целая большая теорема.
Задача 15. Пусть wt — винеровский процесс на
отрезке от 0 до Г (^оо), ^ = wt + cpf. Для того
чтобы распределение было абсолютно непрерывно
относительно , необходимо и достаточно, чтобы
функция ф; была абсолютно непрерывной, ф0 = 0 t
(т. е. (pf=^(ps?/s, где точка означает дифференци-
0
г
рование по времени), и чтобы ^ q>2(dt < со. При этом
о
135
плотность и. относительно и задается формулой
С*
т т
dH.
Указание. Нужно доказать сначала, что Мя = 1.
Так как я > 0, то абсолютная непрерывность взаимна. Легко доказать, что если tpt не является абсолютно непрерывной функцией с интегрируемой в квадрате производной или фо^О, то распределения и jx сингулярны.
Результат задачи 15 непосредственно и самым естественным образом обобщается на /--мерный винеровский процесс:
т т
я = ехр
| ф‘ dw\ - у (ф‘)2.
''1 = 10 0i = l '
3. Дадим небольшой кусочек теории не в виде задач.
Пусть распределение р' случайной функции тр, (бТ, абсолютно непрерывно относительно р — распределения t е Т,
причем плотность нам известна. Пусть нам известно р^ — распределение случайной величины ?, получаемой применением к некоторого ^’'’-измеримого функционала /: t, = f ). Что можно сказать тогда о распределении pt случайной величины х — f (т] ), определенной по случайной функции r\t так же, как \ по |t?
Оказывается, распределение рг будет абсолютно непрерывно относительно р^.; действительно, из р^.(У|)=0, /1б Я1, вытекает
р {х : /(х)еЛ}=0, откуда р' {х : /(х)еЛ}=0, т. е.
/ Л\ г\ тг (.dx) . ,ч
Как выражается -— . ¦? Обозначим эту плотность,
которая по теореме Радона — Никодима существует, через g (х). Имеем Р' {т е А] = ^ g (х) р^. (dx), или по-другому:
А
P'{xsA} = t g(S)P(da»). (7)
С другой стороны, в силу (3)
P'{tG^} = P'{1_ef-1(/l)}= С яР(Ло). (8)
Так как в (7) функция g(?) измерима относительно ст-алгебры, порожденной случайной величиной ?, а интегрирование ведется
136
по произвольному множеству из этой 0-алгебры, то формулы (7), (8) означают, что g(t,) являются одним из вариантов условного математического ожидания М (я | ?), или, в другой форме записи:
g (дс) = М {и | ? = х). (9)
Разумеется, эта плотность определяется однозначно лишь с точностью до множеств (i^-меры нуль. Чтобы найти ее, достаточно
знать совместное распределение случайных величин я и ?. Предложим несколько необязательных задач.
Задача 16*. Пусть |<, (еГ, — случайная функция на вероятностном пространстве (Й, У, Р), я — произвольная неотрицательная случайная величина на этом пространстве, Мя=1. Положим Р' (В) = Мхвя, В е Докажите, что распределение ц' случайной функции на вероятностном пространстве (Й, У, Р') абсолютно непрерывно относительно ц — распределения случайной функции на пространстве (?2, , Р).
Известно (см. Ито и Маккин, 1968, задача 1.7.1), что совместное распределение максимума винеровского процесса ю< на отрезке [0, 7"] и его значения в конце этого отрезка задаются плотностью, которую мы сейчас выпишем. Считаем Wa — 0, положим ti = max т.. Тогда
