Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
^ f (s, Is) ds — предсказуемая случайная функция относительно о
семейства сг-алгебр У< t, 0 < t < оо.
Задача 4. В условиях предыдущей задачи пусть т — марковский момент относительно (Зг<<). Докажите, что г|з = х
= ^ / (s> Is) ds — измеримая случайная величина (если
о
интеграл расходится как интеграл Лебега, полагаем ф = 0).
Поговорим об интуитивном фоне, стоящем за термином предсказуемость. Отличие понятия предсказуемости от прогрессивной измеримости проявляется в случае непрерывного времени только при рассмотрении разрывных случайных функций. Рассмотрим случайную функцию, совершающую время от времени с качки величины 1. Эти скачки могут быть двух родов. Во-первых, они могут происходить в строго определенные моменты нре-мени; или в случайные моменты, но такие, скажем, как момент времени, когда мы коснемся какого-то множества. Это — скачки, которые мы можем предсказать: приближаясь к множеству, мы уже видим, что вот-вот его коснемся. Во-вторых, могут быть совершенно неожиданные, непредсказуемые скачки, происходящие «ни с того, ни с сего», как, например, у пуассоновского процесса.
158
Для различения в пределах строгой математической теории этих случаев и вводится понятие предсказуемости.
Рассмотрим пример. Только пуассоновский процесс нам сейчас ни к чему, потому что у нас сейчас нет не только пуассонов-ского распределения, но и вообще вероятностей. Кроме того, счетное число скачков — это слишком много, ограничимся одним скачком.
Задача 5. Пусть Q = [0, оо), ^ Т = [0, оо),
о) = 0 при t < со и ?<((о) = 1 при t (о. Проверить, что
^10. со) = ^[0, со)'-
ст-алгебра состоит из всех борелевских подмножеств А
отрезка [0, t\ и из всех множеств вида А {] (t, оо), Л е
t + = t >
марковские моменты т могут быть двоякого рода: во-первых, вида
(о при со е [0, <0];
= tо при со > t0
(функция т(со) предполагается борелевской): и, во-вторых, вида т(ш) (о при всех (о (рис. 17);
ст-алгебра (раз семейство ст-алгебр обозначается в данном случае то и ст-алгебры, связанные с марковскими моментами, обозначаются для марковских моментов первого рода совпадает с Й?|0 для второго — с ^
согласованные с (^~< /), прогрессивно измеримые, предсказуемые множества в Т X Q = [0, оо) X [0, оо) мы опишем с помощью рисунков. Обратите внимание на то, что, хотя время — первое переменное в паре (t, ш), на следующих далее рисунках в качестве оси <о выбрана ось абсцисс; это сделано для того, чтобы не расходиться с формой, в которой даны графики марковских моментов (см. рис. 17).
Согласованные с /) множества имеют вид, указанный
на рис. 18 (выше биссектрисы координатного угла и на ней — что угодно, а правее ее множество должно состоять из горизонтальных полупрямых, взятых целиком). При этом требуется (чего не выразишь на чертеже), чтобы любое горизонтальное сечение было
159
борелевским (это — ограничение, касающееся только части чертежа с / ^ ш).
Прогрессивно измеримые множества изображаются в точности таким же чертежом, но требуется, чтобы множество было двумерным борелевским множеством.
Предсказуемые множества—почти то же самое, но прямая / = (о отнесена не к верхней половине, а к нижней (рис. 19;
направо идут замкнутые лучи, а на том уровне /, где нет луча; там и точка (t, t) не принадлежит множеству) .
В частности, сама случайная функция §*(ш) прогрессивно измерима, но не предсказуема, потому что множество {(/, ш): ?<(со) = 1} имеет вид, указанный па рис. 20 (биссектриса включается в множество) .
5. Еще раз напомним, что введенные в этой главе понятия — чисто теоретико-множественные и никак не связаны с вероятностью и мерой, поэтому и глава такая короткая.
Глава 7 МАРТИНГАЛЫ
§ 7.1. Мартингалы, субмартингалы, супермартингалы
1. Пусть (й, ?F, Р) — вероятностное пространство; SF t, t^T^R1,— неубывающее семейство ст-алгебр (9rt!^9r). Случайная функция \t, t^T, называется мартингалом относительно семейства ст-алгебр SFt, если
а) случайная функция \t согласована с семейством ст-алгебр SFt (т. е. it при любом t ?Ггизмеримо);
б) для любых s,t^T, s sC t, почти наверное
е5 = м(ы^)- (О
Согласно определению условного математического ожидания (см. Ф ел л ер, 1967, т. 2), мы считаем, что mi, конечно при всех t.
Естественно, раз речь идет о математических ожиданиях, — числовая или векторная случайная функция.
Условное математическое ожидание относительно SFs по определению—^'s-измеримая случайная величина такая, что выполнено определенное интегральное соотношение. Поэтому с учетом а) условие б) можно переписать так:
$isdp=$i,dp (2)