Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
PwT, л <а> =
_ | (2/яР)1/2 (2Ь — а) <3.-(2&-а)=/(2П
если O^b, Ь ^ а;
(. О, если Ь<0 или Ь < а.
Пользуясь этим и результатами задач 2, 13, в которых устанавливается, что плотность распределения соответствующих процессов относительно распределения винеровского процесса зависит только от значения траектории в последний момент времени, а также формулой (9), решите следующие задачи.
Задача 17*. Найдите распределение случайной величины
шах (w, + bt\,
о</< т
где w, — винеровский процесс, выходящий из нуля, а b — константа.
Предельным переходом получите распределение шах
0< f <оо ‘
+ Ы).
Задача 18*. Найдите распределение случайной величины max (wf — ctw,),
' 1 17
где с — константа, не равная 1. Предельным переходом найдите также это распределение при с = 1.
§ 5.4. Слабая сходимость бесконечномерных распределений
1. Напомним определение слабой сходимости мер. Пусть {ц„} — последовательность вероятностных мер в метрическом пространстве X с ст-алгеброй 03х его борелевских подмножеств; v — вероятностная мера.
137
Мы говорим, что ц„ слабо сходится к v при п-*-оо, если для любой ограниченной непрерывной функции f на X
f(x)Hn(dx)^\)f(x)v(dx) (га-* оо). (1)
X X
Семейство мер {|л} называется относительно слабо компактным, если из любой последовательности мер, принадлежащих этому семейству, можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к какой-то мере (вообще говоря, не принадлежащей этому семейству). Вопрос об относительной слабой компактности очень важен для установления условий слабой сходимости (вспомним доказательство теоремы о взаимной непрерывности соответствия между распределениями и характеристическими функциями). Условия относительной слабой компактности дает следующая теорема.
Теорема 1 (теорема Прохорова), а) Достаточным условием относительной слабой компактности семейства вероятностных мер {р,} на метрическом пространстве X является следующее:
для любого е > 0 существует компакт /(sX такой, что |л(/|С)> 1—е для любой меры р из нашего семейства.
б) Если метрическое пространство X — полное и сепарабельное (польское пространство), то это условие и необходимо.
Доказательство мы приводить не будем (его можно прочесть в различных источниках, в частности в книге Биллингсли (1977)); прокомментируем эту теорему.
Прежде всего, для свойства: для каждого е > О существует компакт К такой, что ... — употребляется термин: плотность семейства мер (не очень удачный термин, хотя бы из-за путаницы с терминами всюду плотность и плотность одной меры относительно другой).
Далее, следует иметь в виду, что обе части теоремы занимают в нашей теории совершенно различное место. Первая часть — более прозаическая, но она постоянно употребляется — когда нам нужно установить компактность того или иного семейства мер. Вторая часть вряд ли когда употребляется, но она имеет чрезвычайно большое принципиальное значение. Она показывает, что нам нужно делать, и в особенности—чего не нужно делать: если мы хотим установить относительную компактность семейства мер, нам нужно искать для каждого е > О соответствующий компакт К, и больше ничего; а если не удилось — то нам не следует биться над все более хитрыми методами, кото рыми мы могли бы установить компактность: это бесполезно.
138
Доказательство первой части следует тому же пути, что доказательство соответствующей теоремы на прямой; чуть-чуть наметим его. Рассмотрим семейство мер {ц} на компакте К такое, что все значения ц(Л^) ограничены какой-то константой. Пространство С (К) непрерывных функций на К с обычной метрикой сепарабельно. Пользуясь этим, при помощи диагонального процесса из любой последовательности {ц„} мер из нашего семейства выделяем подпоследовательность ||такую, что для
любой функции /еС(/С) существует lim \ f d\in.. Этот пре-
I -> оо J
К
дел — линейный ограниченный функционал на С (К) (причем принимающий неотрицательные значения для f ^ 0). Имеет место теорема Рисса, утверждающая, что каждый такой функционал представляется в виде ^ / rfv^, где vK — некоторая мера
К
на К (см. Халмош, 1953, § 56). После этого нужно, расширяя компакты К, охватить ту е-долю мер цП[, которая еще остается снаружи.
Второе утверждение теоремы в случае числовой прямой (X = R1) или вообще локально компактного пространства просто; но хорошие бесконечномерные функциональные пространства не локально компактны. Удивительным оказывается то, что достаточно полноты и сепарабельности (а этого-то у хороших функциональных пространств не отнимешь). Не будем касаться доказательства второй части, хотя оно тоже не слишком сложно.
