Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
148
можем ожидать, что выпадет последовательность герб — герб — решка — герб).
Коротко говоря, марковский момент — это такой случайный момент, о наступлении которого можно узнать, не зная того, что будет после этого момента.
С этим связан другой термин для марковского момента, отчасти более выразительный, — случайная величина, не зависящая от будущего, принятый в книге Дынкина (1959). Однако этот термин очень длинный, к тому же одна из основных областей применения этого понятия — теория марковских процессов, где оно связано с очень важным строго марковским свойством, так что в настоящее время употребляется более короткий термин.
Отметим особо, что понятие марковского момента никак не связано с вероятностью Р на пространстве элементарных событий, а только с самим этим пространством и заданными на нем а-алгебрами.
2. Дальнейшие примеры и свойства марковских моментов. Прежде всего, любой неслучайный момент т(ш) ^/(ёГ) —это марковский момент (и также т(со) = +оо). Рассмотрим несколько классов более интересных примеров.
Все доказательства, связанные с марковскими моментами,— просто теоретико-множественные выкладки; однако они приобретают смысл (и упрощаются), если все время не упускать из виду наглядный смысл понятия марковского момента как момента, определяемого по прошлому случайного процесса.
Задача 1. Пусть п = 0, 1, 2, .. ., — случайная последовательность, принимающая значения в измеримом пространстве (X, Зв)\ Г — произвольное множество из SB. Определим тг как пер 1 1 момент достижения последовательностью множества
Г: т . min {п: |п е Г| или + оо, если случайная последовательность ?„ так никогда и не достигнет Г. Докажите, что тг — марковский момент относительно семейства а-алгебр п~
= 0, 1, 2, ... ^
Задача 2. В условиях Предыдущей задачи пусть Гь Г2, ... ..., Г„, ... — измеримые подмножества X. Положим Ti = = min {я: е Г} или +оо, если последовательность не дости-
гает Гi; т2 = min{n > Ть ?леГ2}, если ti < оо и последовательность достигает Гг при п > ti, и +оо в противном случае; вообще, Тк + 1 — первый после т* момент достижения Г* + г. t* + i = = min{n > tt: е Гк+1} или +оо, если Ts = оо или последова-
тельность не достигает Г* + 1 после момента т*.
Докажите, что ть тг, .... т*, ... — марковские моменты.
В частности, это справедливо для первого, второго, третьего и т. д. моментов пребывания в одном и том же множестве Г.
Задача 3. Пусть Ь, <е=№, оо), — случайный процесс, пространство (X, ЗВ), в котором он принимает свои значения, — метрическое пространство с о-алгеброй борелевских подмножеств. Предположим, что траектории |<(ш) непрерывны, Г — замкнутое
149
множество. Пусть тг — первый момент достижения Г: тг = = min {/: |( е Г}, если такие t есть, и тг — оо, если не достигает Г. Докажите, что тг — марковский момент относительно семейства ст-алгебр ST^j, ^ е [О, оо)
Пример п. 3 § 3.1 показывает, как решается Задача 4. В условиях предыдущей задачи пусть Г — открытое множество, rr = inf{/: \t е Г} (или +оо, если ?/ не принадлежит Г пи при каком /е [0, оо)). Тогда тг, вообще говоря, не является марковским моментом относительно семейства сг-алгебр &~<t, 110 является марковским моментом относительно семейства ст-алгебр + -
Этот результат сохраняется и в случае, когда траектории не непрерывны, а только непрерывны справа.
Задача 5. Для того чтобы случайная величина т была марковским моментом относительно семейства ст-алгебр + ,
порожденного каким-то случайным процессом, необходимо и достаточно, чтобы {х < /} I при любом t.
Задача 6. Пусть т — марковский момент относительно семейства ст-алгебр $Гt, t^T. Докажите, что случайная величина х
Очень легко доказываются такие свойства марковских моментов:
если т1; т2 — марковские моменты, то Ti Д tz, Ti \J хг— тоже марковские моменты;
если хи т2, ..., т„, ...—марковские моменты, Ti ^ Тг SS ... т„ ..., то х = lim хп — тоже марковский мо-
мент (предполагается, что пределы всех возрастающих последовательностей элементов Т принадлежат Т).
Действительно,
и все эти события принадлежат t.
Если т — марковский момент, то, скажем, т + 1 и 2т (Т = = [0, оо)) —тоже марковские моменты, но т/2 не будет, вообще говоря, марковским моментом (относительно того же семейства сг-алгебр).
3. Связанные с марковскими моментами о-алгебры. Мы интерпретировали ст-алгебру STt как совокупность всех событий, о наступлении которых нам становится известно к моменту Такая ст-алгебра связана с любым неслучайным моментом t е Т. Оказывается, и с каждым марковским моментом т можно связать ст-алгебру ?ГХ, имеющую смысл системы всех событий, о наступлении которых мы узнаем к моменту т.
измерима относительно
{t! Vt2<(} = {т, < t) Л {т2 < t}.
ОО
150
По определению А е &~х, если А ^ = о ^ [J
