Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Вентцель А.Д. -> "Курс теории случайных процессов " -> 57

Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.

Вентцель А.Д. Курс теории случайных процессов — М.: Наука, 1996. — 400 c.
Скачать (прямая ссылка): kursteoriisluchaynihprocessov1996.pdf
Предыдущая << 1 .. 51 52 53 54 55 56 < 57 > 58 59 60 61 62 63 .. 146 >> Следующая


и для любого t е Т

ЛП{т<0е^. (2)

Докажем, что @~х-о-алгебра. Прежде всего, 0,^3~х, потому что Q П {т ^ 0 = {т ^ 0 ^ t в силу определения марковского момента. Далее, если А е 3~х, то и ?J\ Ле 3~х.

(Q\A)(]{x^t} = {x^t} \ ЛП{т<0-

И совсем уже просто доказывается, что счетная сумма множества из 9~х снова принадлежит этой системе множеств.

Легко видеть, что для не марковского момента т определенная таким образом система событий не окажется сг-алгеброй.

Интуитивно понятно, каков смысл определения SF х при помощи требования (2): пусть наступление или ненаступление события А становится нам известным к моменту т; тогда, если к моменту t нам стало известно, что т ^ t, мы должны также узнать, наступило ли А.

В случае семейств cr-алгебр или для ^-алгебр,

связанных с марковским моментом т, мы будем употреблять обозначения &~^х, &~^х + -

Для марковского момента т примера п. 1 cr-ал-гебра 9~х порождается всеми 2F^ «.-измеримыми подмножествами множества {т = оо} (имеющего меру 0) и счетным разбиением множества {т < оо} = {?, = —1,

52 = —2} U {Ei = 1, 52 = 2}U{Ii = -1, Е2 = 0, ?з=-1, и = -2} и Й1 = -1, Е2 = 0, ?з = 1, ^4= 2} и {?,= 1, Е2= 0,

53 = -1> ё4= —2} U {S, = 1, Е2 = 0, 1з=1. S« = 2}U

U {h = -1, g2 ¦= 0, Ез = -1, ^4=0, |5= -1, ?6=-2} и • • • В качестве примера случайной величины, измеримой относительно а-алгебры $ГХ, можно рассмотреть число попаданий в точки 0 и 1 до момента т.

Задача 7. Докажите, что марковский момент т всегда измерим относительно а-алгебры SFх.

Задача 8. Докажите, что если т и а — марковские моменты, т(ш) =?: а(ш) при всех ш, то х s 2Г0.

Задача 9. Пусть т — марковский момент, а — случайная величина, принимающая значения из 7* IJ {°°}> причем а(ш) ^ ^ т(ш) при всех ш. Если случайная величина а измерима относительно х, то а — также марковский момент.

Задача 10. Для произвольных марковских моментов а, х событие {т < сг} измеримо относительно а-алгебр &~х, 9~а

д ст-

151
§ 6.2. Свойства независимости от будущего

Часто наряду с тем случайным процессом ?*, /е ^T^R\ который нас интересует, нам приходится рассматривать различные вспомогательные случайные функции. При этом, если мы интересуемся зависимостью будущего от прошлого, нам оказывается существенно различать случайные функции, не зависящие от будущего и зависящие от будущего. Так, если вспомогательная случайная функция щ определяется, скажем, как г)t — Ъ — Ъ-ь 0 ней естественно сказать, что она не зависит от будущего, а о случайной функции <+2

?,t= ^ ?,sds — что она зависит от будущих значений t-1

случайного процесса ? (чтобы узнать значение случайной функции ?* при данном t, нужно знать значения не только для s до t, но и после t).

Эти неопределенные соображения превращаются в точные математические определения, причем не одним способом.

Все свойства независимости от будущего, которые мы будем рассматривать, формулируются как свойства измеримости случайной функции по паре аргументов t, со относительно определенных ст-алгебр в пространстве В исследованиях по теории случайных

процессов различных таких ст-алгебр и соответственно свойств независимости случайной функции от будущего рассматривается очень много; мы ограничимся тремя.

1. Пусть 3Tt, t^T s/?1, — неубывающее семейство ст-алгебр, SFt^SF. Введем ст-алгебры в пространстве T\Q, связанные с семейством ст-алгебру согла-

сованных с семейством (SF/) множеств s4-d (сокращение от английского или французского термина); сг-ал-гебру прогрессивно измеримых множеств &rog\ и а-алгебру предсказуемых множеств iPred.

По определению множество Л ^ ГХ й принадлежит а-алгебре sld в пространстве Т \Q, если для любого t е Т сечение А «на уровне t» — то есть {о>: (t, в) еУ1} — принадлежит сг-алгебре t.

Более сложные определения сг-алгебр !Prog и !?red даются только в том случае, когда Т — борелевское подмножество прямой. Обозначим через 3S^t а-алгебру на множестве Tf|(—°°Х]. состоящую из всех

152
борелевских подмножеств этого множества. По определению множество А ? Т X ^ принадлежит iProg, если для любого t^T множество ЛП((—°°Х]Х^) принадлежит а-алгебре 3S^tX&~t-

Наконец, ст-алгебра ZPred определяется как наименьшая ст-алгебра в ТХЙ, содержащая все множества вида (Т П(^, оо))Х В, где i^T, В ^ 3Ft.

Разумеется, то, что зФй и SProg — действительно ст-алгебры, нужно еще проверить (Pred — ст-алгебра по определению); но это очень легко. Например, проверка того, что из A^SProgвытекает(TX.Q) \ AetProg:

((Т X О) \ А) П ((- оо, t\x Q) = ((Г П (- оо, t]) X Q) \

\ (Л П ((— °°, t] X й))- Уменьшаемое принадлежит ^(X^f просто потому, что $^tX@~t — ст-алгебра на (Т П (— 00X]) X й; а вычитаемое — по предположению А е iProg.

Случайная функция т)< = г)* (со), t^T, называется согласованной с семейством а-алгебр 3Ft (прогрессивно измеримой, предсказуемой), если она измерима относительно ст-алгебры s?d (соответственно &rog, ZPred).
Предыдущая << 1 .. 51 52 53 54 55 56 < 57 > 58 59 60 61 62 63 .. 146 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed