Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
жество-вычитаемое тоже принадлежит ст-алгебре предсказуемых множеств.
Значит, принадлежит этой ст-алгебре и вся счетная сумма (3).
155
Доказанная микротеорема позволяет нам привести примеры случайных функций, с одной стороны, согласованных с семейством ст-алгебр и прогрессивно измеримых, а с другой — предсказуемых. Так, случайная функция r[t = X f(s, У согласована с семей-
5 = 0
ством ст-алгебр порожденных случайной по-
следовательностью It, / = 0,1,2, ...,, и она, разумеется, прогрессивно измерима, но, вообще говоря, не предсказуема. Пример предсказуемой относительно того же семейства ст-алгебр случайной функции:
?,= Ё f(s, У-
5 = 0
3. Микротеорема 3. Пусть Т — отрезок, интервал или полуинтервал, конечный или бесконечный, на действительной оси; r\t, t е Т, — случайная функция, согласованная с данным семейством о-алгебр SFt- Если г)^ (со) при любом (о непрерывно справа (или слева) по t, то случайная функция r\t прогрессивно измерима.
Доказательство не нужно проводить заново: оно следует из результата задачи 4 § 1.3.
Микротеорема 4. Пусть Т — отрезок, интервал или полуинтервал, конечный или бесконечный, на действительной оси; x\t, t see Т, — случайная функция, согласованная с данным семейством а-алгебр, причем в случае, когда в Т есть наименьший элемент to, предполагается т], (со) = с = const. Если (со) при любом со непрерывно слева по t, то случайная функция x\t предсказуема.
Доказательство будем для простоты обозначений проводить в случае Т = [0, оо). Определим случайную функцию
г т)0 (со) = с при t = 0;
Т)"= \ \ k - 1 ^ ^ * и 1 О о
(4)
Ясно, что в силу непрерывности слева т)" (со) —> r\t (со) при п —оо для всех t, со, потому что значение аргумента, в котором берется функция т) в определении (4), не превосходит t и отличается от t не более, чем на 1 /п. Поточечный предел последовательности измеримых функций измерим, поэтому достаточно доказать
156
предсказуемость случайной функции r\nt. Имеем для любого измеримого множества С (в том пространстве, в котором принимает значения случайная функция г]/):
{(/, со): rtf (со) еС} =
Г 0, если с(?С) кл..
= <°>х{0, если с^с\uU(—-Tlx
Х{“: \k-i)in Не CJ-
Самое первое слагаемое при сфС пусто и принадлежит ст-алгебре &red\ при с е С оно представляется в виде (Т X ?2) \((0, оо) Хй)и принадлежит 9>red как дополнение множества из этой ст-алгебры. Далее, k-e слагаемое представляется в виде
°°)Х{со: ri^№((o)GC})\
Ч((Т’ °°) Х{“:
Первое множество здесь принадлежит <?red потому, что {со; Т1(*_,)/п(ю) е С} е &~lk_1)ln; второе— потому, что это же событие принадлежит ЗГщп.
Микротеорема 5. Пусть Т — отрезок, интервал или полуинтервал. Тогда а-алгебра <Pred s !?rog.
Доказательство. Достаточно проверить, что принадлежат ст-алгебре &rog порождающие iPred множества вида А =(7’П(/, °°))Х В, B^SFt\ то есть что их индикаторы %A(s, со) = хт п (/_ (s) Хв (®) прогрессив-
но измеримы. Это вытекает из того, что индикатор %а (s, со) согласован с данным семейством ст-алгебр и при любом со непрерывен слева по s.
Полученные результаты дают возможность рассмотреть примеры предсказуемых и прогрессивно измеримых случайных функций в случае непрерывного времени. Если |/, —оо < t < оо, — числовой случайный процесс с дифференцируемыми траекториями, случайная функция прогрессивно измерима и предсказуема относительно порожденного процессом семейства ст-алгебр Действительно, при всех t, со
имеем: ?'(со) = lim п (? (со) — ^(со)), а случайные
оо
функции ?, и предсказуемы как функции с не-
прерывными реализациями, согласованные с дан-
157
ным семейством сг-алгебр. Если \t — случайный процесс с непрерывными справа и не имеющими разрывов второго рода реализациями, то прогрессивно измерима относительно того же семейства ст-алгебр случайная функция г]?, определяемая как величина скачка в точке t: r\t = Ъ — It- (в точках непрерывности, то есть всюду, за исключением счетного числа точек, r|f = 0). Это вытекает из того, что сам случайный процесс будучи непрерывен справа, прогрессивно измерим, а его левый предел даже предсказуем (будучи непрерывен слева).
4. 3 а д а ч а 1. Пусть случайная функция г|< прогрессивно измерима; т — марковский момент. Докажите, что функция г\х = т]х (и) на множестве {и: т(со) < оо} измерима относительно сг-алгебры
Задача 2. Пусть Т = [0, оо), т)(, (еГ, — случайная функция, прогрессивно измеримая относительно семейства ст-алгебр S~t, t еГ Пусть (ы) = ^ r)s (ы) ds существует как ин-
о
теграл Лебега при любом /еТ. Тогда ?/—предсказуемая случайная функция.
Задача 3. Пусть [0, оо), — случайный процесс с
непрерывными справа траекториями в метрическом пространстве X (в качестве сг-алгебры SB на этом пространстве взята сг-ал-гебра Ях его борелевских подмножеств); f(t, х)—ограниченная ^[0 оо) X .^-измеримая функция на [0, оо) X X. Докажите, что t
