Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
конечные подмножества Т (см. § 5.3). Мы получаем, что плотности Ar ОО, Нт„(хш), ..., Агп0О> ... на пространстве (Хт, 9вт, ц) образуют мартингал. Другое выражение того же факта: случайные величины лтп = hr (I.), п = 1 ч 2, ..., на пространстве (Q, ЯГ, Р) образуют мартингал относительно семейства ст-алгебр ЯГтп = о {It, t <=Тп), п= 1, 2, ....
3. Построить сколько угодно примеров субмартингалов (и супермартингалов) нам дает возможность следующая
Микротеорема. Пусть ?/, t^T, — мартингал относительно семейства а-алгебр ЯГ t^T; пусть f—¦ выпуклая вниз числовая функция такая, что существует м/ (У- Тогда /(?/), t^T,— субмартингал.
Доказательство. Согласованность /(?*) с семейством t проверять не нужно; проверим, что для /(It) выполнено неравенство (5), т. е. что для любых
164
Из выпуклости f(x) вниз следует существование для каждого х0 опорной прямой у = f (х0)С (х0) (х—•
— х0), лежащей под графиком y — f(x) (рис. 21). (В качестве С(х0) можно взять, например, правую производную в точке х0.) Воспользуемся этим для is в качестве х0, It в качестве х; получим
f{lt)>f(ls) + + С(У(Е,-У.
Идея состоит в том, что- Рис. 21
бы проинтегрировать это
неравенство по множеству А и получить (6). Однако
будем осторожнее: интеграл ^ С (У (i, — У dP, может
л
быть, расходится из-за неограниченности функции C(|s); поэтому возьмем интеграл лишь по множеству AK = A[]{\C(h)\^N}:
\filt)dP> \f{ls)dP+ \c(ts)?t-ts)dP.
an an an
Второй интеграл в правой части здесь равен нулю;
действительно,
м%AnC (У & - У = мм [xanC (is) (i, - У I ,] =
= м [xAnc (is) м (i, — is I ,)] = о
почти наверное. Отсюда
\f(ls)dP> \f(lt)dP;
an an
устремляя N к бесконечности, получаем (6). Микротеорема доказана.
Заметим, что эта микротеорема годится также для мартингалов с векторными значениями, и доказательство остается тем же; только вместо опорной прямой
нужно использовать опорную плоскость или гиперплоскость.
Из одного только винеровского процесса wt, t ^ О, шо = 0, получаем множество примеров субмартинга-
9
0 4 CW CWi
лов: | wt |, w\, wt, е ‘, е 1 (последнее при 0 ^ t < С 2/с); супермартингал wtAc (функция у = хЛс выпукла вверх).
4. Пусть wt, t ^ О, Wq = О, — r-мерный винеровский процесс, /(х)—непрерывная супергармоническая функция в Rr (т. е. непрерывная функция, значение которой в каждой точке х не меньше среднего ее значений по любой сфере с центром х). Если Мf (wt) при положительных t существует, то f{wt), 0, — супермартингал относительно семейства ST^t.
В одномерном случае это вытекает из результатов п. 3, потому что все супергармонические функции на R1— выпуклые вверх; приведем доказательство для многомерного случая. Для 0 ^ s t почти наверное М (/ (wt) | s) = Ф (ws), где
Ф (х) = [2л (( — s)]~г/2 ^ е~1 у~х ,!/12 {t -s)l/ (у) dy Rr
(докажите, пользуясь конечномерными распределениями). Интегрирование по Rr можно заменить интегрированием функции / по сферам: {у: |у — х| = р} и интегрированием результата с каким-то весом по р; каждый интеграл по сфере не превосходит интеграла от значения /(х) функции / в центре сферы, так что
Ф (х) ^ [2л (t — s)] ~r/2 ^ е ~ly~x / (x) dy = f (x).
Rr
Отсюда вытекает, что f (ws) ^ M (f (wt) | @~s)-
В частности, в двумерном случае супермартингалом является \\t — —In | wt — x0|, а в /--мерном (г ^ 2) Т|; = \ J \ wt — X0|r”2, ПОТОМУ ЧТО / (x) =—1П | JC — X0 |,
f(x) = 1 /1 x— x0|r~2 — супергармонические функции в соответствующих пространствах (мы полагаем f(x0) = = +00, так что может принимать значение +оо, но
Р (Л/ == °°} = Р = 0 ПРИ t > 0).
5. 3 а д а ч а 2. Для того чтобы последовательность |„ была мартингалом, необходимо и достаточно, чтобы при всех п почти наверное М (?п + 1 | @~п) = Докажите.
166
§ 7.2. Компенсаторы
1. Понятие компенсатора и связанные с ним понятия составляют важную часть аппарата, используемого для учета зависимости будущего от прошлого. Эти понятия, хотя и без разработанной в полном объеме терминологии, широко используются в исследованиях по теории случайных процессов.
Прежде чем вводить их, приведем пару теорем.
Микротеорема 1. Пусть %t, t = t0, /о+1, to + + 2, ..., — мартингал относительно семейства а-алгебр ZTto ^ t„+\ ^ ^"<„+2 s . . .. Если случайная
функция gf предсказуема относительно этого семейства а-алгебр, то почти наверное %t является константой, не зависящей ни от t, ни от со.
Доказательство. Мы знаем, что предсказуемая случайная функция равна какой-то константе с в левом конце t0 множества моментов времени. Докажем, что Р {h = с} = 1.
Пишем цепочку равенств, выполненных с вероятностью 1:
с = ho — М (gf0+i E<„+i =
= М (Е<о+2 I t„+ l) = Е<0+2 = • • •