Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
гал относительно семейства &~t, t еГ, с непрерывными справа реализациями. Пусть х, о — марковские мо-
172
МвНТЫ, Т ^ 0 ^ ^шах* Тогда почти наверное
Доказательство. Прежде всего, ?т — ^“х-из-меримая случайная величина в силу задачи 1 § 6.2. Поэтому достаточно доказать, что
\lxdP = \ladP (7)
А А
для любого события А е $ГХ (при этом мы заодно докажем, что |х и ga интегрируемы). Положим хп = = ([2"т] + 1) /2я, если ([2ят] +1) /2яе [—п, /тах]; если ([2ят] + 1)/2я попадает левее —п, полагаем %п = —п; если же правее tmax, то xn = tmax- Аналогично определим On — (— п) V( [2яст] + 1)/2" A /max. ЯСНО, ЧТО тл ^ ап, т„|т, ая|0 при л—>- оо для всех со. Согласно задаче 9 § 6.1, хп и оп — марковские моменты; они принимают конечное число значений, поэтому для них имеет место формула (6):
K = M(ion\$-rn). (8)
Так как т то событие А ^ Згх ^ и 113 (8)
получаем
\lXndP = \landP. (9)
А А
Из непрерывности реализаций справа вытекает ?х = lim ?х , = lim ?а . Покажем, что в формуле
Я-» оо Я П->оо П
(9) можно перейти к пределу под знаком интеграла. Имеем почти наверное (опять-таки согласно результатам п. 1)
lx = М % \&'х), 1а = М {It I Та ).
°тгс fmax I °п ч^гпах I °п/
Согласно задаче 12 § 1.2, случайные величины |х равномерно интегрируемы, и предельный переход под знаком интеграла закончен. Получаем формулу (7). Микротеорема доказана.
Задача 4. Пусть t 0, — супермартингал с непрерывными справа реализациями, \t 0 при всех Докажите, что М?0>М?Х для любого конечного марковского момента т.
Задача 5. Для винеровского процесса и><, t ^ 0, с непрерывными траекториями, выходящего из нуля, найдите вероятность того, что wt достигнет раньше точки а, чем Ь (а < 0 < Ь).
173
4. Неравенство Колмогорова. Неравенство Колмогорова— обобщение неравенства Чебышёва. Первоначально оно было получено А. Н. Колмогоровым для сумм независимых случайных величин с нулевым математическим ожиданием, но затем, как и неравенство Чебышёва, значительно обобщено.
Микротеорема 4. Пусть Т — конечное множество (с максимальным элементом /шах), Ъ — субмартингал относительно семейства о-алгебр 3ft, t^T\ пусть 11 принимает только неотрицательные значения. Тогда для любого е > О
Р{тах^>е}<М|/ /е [=тах М|,/е].
(еГ (еТ
Доказательство. Положим x = min {feT:
^ е}, а если таких t нет, положим т = tmax. Это — марковский момент относительно семейства ст-алгебр @~^t = @'is, s<< (задача 1 § 6.1). Но из того, что случайная функция Ъ согласована с ?Г/, / еТ, вытекает, что ^ t s t\ поэтому т — марковский момент также относительно семейства &~t, t^T.
Далее, maxlt^e тогда и только тогда, когда t <= г,
^ е; по чебышёвскому неравенству для неотрицательной случайной величины
Р ^ > е) = р > 8) < Мьт/е < М^тах/е •
Для неотрицательных супермартингалов неравенство Р { шах L е} ^ max ML/e
(el' r ief г/
остается верным, но при доказательстве используется неравенство ME ^ ML (= max ML).
to<minV
5. Теперь посмотрим, как выглядит неравенство Колмогорова для бесконечного Т.
Микротеорема 5. Пусть ?*, <еГЕ Я1, — неотрицательный субмартингал с непрерывными справа реализациями (или с непрерывными слева, или сепарабельный). Тогда для любого е > О
Р {sup lt > g} sup Mtt/e.
te=T t(=T
Доказательство. Пусть TiS^s... ^ Tn = ^ ... — возрастающая последовательность конечных подмножеств Т такая, что для каждой точки /ёТ
174
существует последовательность tn, сходящаяся справа к t, причем каждое tn^Tn. Тогда sup lt — lim max У
t c= T п-юо t e 7V
n
Из того, что sup^^e, не вытекает, что max^^e
t €5 Т t(^Tn
при достаточно больших п; однако сумма неубывающей последовательности событий {тах^^е} содер-
*^Тп
жит в себе событие {sup^ > е}. Поэтому
t <= Т
( °°
Р {sup It > е} < р U {max lt > е)
\п = 1 t^Tn
= lim Р { max lt e} ^ lim max Mlje ^ sup M^/e.
l^Tn n->® 1бГп ier
Теперь оценим P{sup^^e}:
t <s T
P {sup ^ > e} = lim P {g, > в'} -C
t e T e'^e
<lim sup Mlt/e' = sup MUe.
e'^-e t e T t e Г
Микротеорема доказана.
6. Микротеорема п. 3 § 1 позволяет нам получить неравенство Колмогорова для мартингалов:
если It, /е Т, — мартингал с непрерывными справа реализациями, f — неотрицательная выпуклая вниз функция, то для любого е > О
