Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
(используем тот факт, что измеримо относительно STt, и условное математическое ожидание почти наверное равняется самой случайной величине).
Теорема. Пусть t ^ to, — мартингал относительно неубывающего семейства а-алгебр SFt, t ^ t0-Если случайная функция предсказуема, а ее реализации непрерывны справа и имеют ограниченную вариацию на каждом конечном отрезке, то с вероятностью 1 = с, где с — какая-то константа.
Не будем приводить доказательство, оно сложно, его можно найти в книге Липцера и Ширяева («Теория мартингалов», 1986). Приведем более простой вариант теоремы, относящийся к случаю, который будет дальше использоваться.
Микротеорема 2. Пусть %t, t ^ t0, — предсказуемый мартингал, реализации которого удовлетворяют условию Липшица с константой L ,(неслучайной): — s | (это обеспечивает и ограни-
ченность вариации, и непрерывность). Тогда почти наверное равно константе.
167
Доказательство. Как и в случае дискретного времени, ?«„(а>) = с. Докажем для любого / > /0> чт0 Р {?* = ?<о} = 1 • Выберем произвольное разбиение to <L t\ <. ... < tn — t отрезка от t0 до t\ имеем:
м (i,,-!„))’=
=m"i (ь,.и-ад!+
+ 2 Z I,,)(!,„
(рассматриваем случай одномерного, причем действительного |f). Первая сумма, а с ней и ее математиче-
П I
ское ожидание не превосходит ? L2 (/,- f [ — /г)2 ^
1=0
п — 1
^ L2 max (/, и— ti)^,(t- —М. Вторая сумма рав-
i i = о41 + 1
на нулю, так как мартингал имеет некоррелированные
приращения. Итак, М (Ъ — L2 (t — t0) max (t[ + l —
i
— ti). Так как разбиение можно взять произвольно мелким, правая часть может быть сделана сколь угодно малой, М (Ъ — Ег0)2 == 0, и Р {|f == |f„} = I.
2. Теперь дадим определение компенсатора. Пусть rjf, /е7, — случайная функция, согласованная с семейством ст-алгебр S~t, принимающая числовые или векторные значения. Случайная функция fjf, t^T, назыгается компенсатором случайной функции r]f, если разность тif — fjf, t^T, является мартингалом относительно семейства ст-алгебр 5F и
случайная функция fjf, t^T, предсказуема; в случае непрерывного времени ее реализации непрерывны справа по / и имеют ограниченную вариацию на любом конечном отрезке, содержащемся в Г (в случае Т, состоящего нз целых чисел, это требование бессодержательно и всегда выполнено).
Как и в определении мартингала, здесь две части: одна связанная только со случайной функцией и ст-алгебрами— предсказуемость, непрерывность справа, ограниченность вариации; другая — связанная с вероятностями— мартингальность разности.
Конечно, мы вполне готовы к тому, что для некоторых случайных функций r]f компенсатор может не
168
существовать; и что компенсатор определяется не единственным образом. Теоремы, приведенные в п. 1, устанавливают почти единственность компенсатора: если Т = {to, t0 + 1, t0 + 2, ...} или Т — отрезок или полуинтервал, содержащий левый конец, то два компенсатора fj, и f\'t одной и той же случайной функции с вероятностью 1 при всех значениях t различаются лишь на неслучайную константу.
Приведем примеры компенсаторов. Прежде всего, ясно, что компенсатором любого мартингала г), является любая константа: f\t = r\t (со) = с;а компенсатором предсказуемой случайной функции г), с непрерывными справа реализациями, имеющими ограниченную вариацию (в случае непрерывного времени), является она сама: fj< = Ti( — или она сама плюс произвольная константа. В частности, rjf = rj, (-(-const). Другие примеры мы можем получить, переформулировав в новых терминах некоторые примеры предыдущего параграфа. Так, пример б) п. 2 § 7.1: компенсатором квадрата процесса с независимыми приращениями lf с = О служит указанная там неслучайная функция F(t), если только она непрерывна справа.
Ясно, что компенсатор суммы равен сумме компенсаторов и что постоянный множитель можно вынести за знак компенсатора.
Задача 1. Пусть т](, t = to, ta 1, to + 2, . . . , — случайная функция, согласованная с данным неубывающим семейством ст-алгебр, М | | < оо. Докажите, что тогда у нее существует
компенсатор, а именно: t- 1
rj,= ? MK + 1-4S|^S) (+const).
5 — A)
Задача 2. В случае непрерывного времени приведите пример случайной функции с М | | < оо, не имеющей компенсатора.
Задача 3*. Найдите компенсатор случайной функции
t^ 0, где wt — винеровский процесс, начинающийся из нуля.
3. Компенсатор играет в теории случайных процессов ту же роль, что математическое ожидание в теории случайных величин. Что здесь играет роль дисперсии (или ковариации)?
Пусть согласованные с данным семейством ст-алгебр случайные функции r\t, ?* имеют компенсаторы r\t, t,t. Тогда бикомпенсатором г],, Z>t называется
169
случайная функция <т), t,}t, являющаяся компенсатором произведения (т]/— fj,)(^— Ъ) •'
