Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
А А
для любых s, t е Т, s ^ t, А е SFs-
Случайная функция |f, t еГ, называется субмартингалом относительно данного семейства ст-алгебр, если выполнены условия а) и
б') для любых s, t^T, s^t, почти наверное
1,<М(Ы^); (3)
супермартингалом, если вместо условия б) выполняется
6 А. Д. ВентцеЛЬ
161
б") для любых s,t^T, s^t, почти наверное
(4)
Суб- и супермартингалы рассматриваются только принимающие значения из R1 (или из расширенной числовой прямой).
Условие б') (соответственно б") можно переписать в интегральном виде:
для s,t^T, s ssj t, /4е 3FS (соответственно ^). Мартингал, принимающий значения в R1, является одновременно суб- и супермартингалом; если субмартингал взять с обратным знаком, получится супермартингал.
Первый пример мартингала — симметричное случайное блуждание по целочисленным точкам прямой (мы его рассматривали в п. 1 § 6.1). Его можно рассматривать как суммарный выигрыш одного из игроков в игру с подбрасыванием монеты при ставке 1 пссле п партий. Вообще любой мартингал относительно семейства о-алгебр ?Г„, связанного с последовательными подбрасываниями монеты, можно интерпретировать как суммарный выигрыш одного из игроков в орлянку, если ставка в каждой партии назначается в зависимости от результатов предыдущих партий (?о = const интерпретируется как начальная плата за участие в игре).
Термин мартингал был введен в 1939 г. Ж. Виллем. Французское слово martingale означает часть конской упряжи — ремень, не позволяющий лошади вздергивать голову; но оно означает также удвоение ставки нри проигрыше. По-видимому, последовательность суммарных выигрышей игрока, пользующегося этим приемом, — простейший пример мартингала, не являющегося процессом с независимыми приращениями.
2. Примеры мартингалов.
а) Винеровский процесс wt, t ^ 0, выходящий из нуля (ш>о = 0), является мартингалом относительно семейства порожденных им 0-алгебр @~^t- Действительно, он тривиальным образом согласован с @~^t, и при 0 ^ s ^ t почти наверное
М (wt\ s) = Ws + M (Wt -- Ws | s) =
= Ws + M (wt — ws) = ws,
потому что случайная величина wt — ws независима от всех событий 0-алгебры • ЯГ(Это вытекает из
(5)
А
А
162
того, что wt — ws не зависит от любого конечного числа порождающих эту ст-алгебру случайных величин wt{, ..wtfi,
Совершенно так же получается, что пуассоновский процесс It, t ^ О, = 0, после вычитания из него at (его математического ожидания) становится мартингалом; и вообще, если t ^ 0, ?0 = 0, — процесс с независимыми приращениями, = то это мартингал.
Следующая задача показывает, что мартингал — что-то промежуточное между процессом с независимыми приращениями с нулевым средним и процессом с некоррелированными приращениями.
Задача 1. Пусть |(, (еГ, — мартингал относительно семейства t, М | [2 < оо. Докажите, что имеет некоррелиро-
ванные приращения.
б) Пусть lt, < оо, ?0 = 0, Мй* — 0, — процесс
с независимыми приращениями, М(?, — Es)2 = F(t)—F (s) при Тогда i2 — F (t) — мартингал относительно Согласованность процесса с семейством
сг-алгебр тривиальна; далее,
M(i?-F(oi^<s) =
= М [i2 + 2is (lt - ls) + (|, - lsf - F (0 w<s] = + 2lsM (lt - ts | T<s) + M [(i, - lsy \T<s]~F (t)= = l2s + M(lt-ls)2-FV) = l*s-F(s)
почти наверное при 0 ^ s ^ t.
В частности, для винеровского процесса wt, 0 ^ ^ t < оо, wo = 0, мартингалом относительно t = = &~w s<( является w2t—t, t>0.
в) Если l — случайная величина, M|?|<oo, ?ГЬ t^T^R1,— неубывающее семейство ст-алгебр, то i, = М (? |^F,), t e T, — мартингал: для s
M (1,1 Ps) = M (M (I | Tt) | Ts) = M (I I Ts) =
Обобщением этого примера служит пример п. 10 § 1.2; только в том примере Т = % — не подмножество R1 и вообще не линейно упорядоченное, а только частично упорядоченное множество.
г) Следующий пример связан с плотностями бесконечномерных распределений. Пусть на произвольном
6*
163
пространстве X задано неубывающее семейство ст-алгебр &~t, / G Г, и на ст-алгебре содержащей все 5Г t, заданы две вероятностные меры ц и |/. Пусть мера |/ абсолютно непрерывна относительно ц на каждой из ст-алгебр SFt\ обозначим соответствующую плотность через ht(x). Функция ht(x), если ее рассматривать как случайную функцию на вероятностном пространстве (X, ЯГ, ц), оказывается мартингалом. Действительно, плотность ht(x) при фиксированном t — это функция, измеримая относительно ЯГ t и такая, что для любого
A<=°Ft
^ ht (х) ц (dx) = у.' (А).
А
Согласованность ht(x) с семейством ЯГt есть; остается проверить (1) или, что то же, (2). Но если то также А е ЯГt, и
^ hs (х) ц (dx) = ц' (Л) = ^ ht (х) ц (dx).
А А
В частности, мы можем в качестве X взять Хт,
— $вт, а в качестве неубывающего семейства ст-алгебр — последовательность ^г‘ (ХГ) ? Я?7"2 (ДГ) ? = ... я=ЗВт»(Хт) где ... ?Г„ ... -
