Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
2. Все сказанное, конечно, относится и к мерам в метрических пространствах, состоящих из функций; только функции на них называются функционалами, и формулу (1) записываем в виде
^ / CO И* (dx.) -*¦ $ / СО v (dx,). (Г)
X X
Однако здесь возникают некоторые сложности, и первая из них — такая: согласно п. 1, нужно рассмат-. ривать меры на борелевской о-алгере $х нашего метрического функционального пространства; тогда как в § 5.1 распределения определялись на о-алгебре &т (X). Значит, то, что сказано в п. 1, можно применять к пространствам А1, для которых эти о-алгебры совпадают.
Этим свойством обладает, в частности, пространство С = С[а,Ь] непрерывных действительных функций на отрезке [а, Ъ] с обычной метрикой. Надо проверить две вещи:
а) $с ? $[а’Ъ] (С);
б) Я (С) ? 9SC
139
(мы употребляем в обозначении 61 (С) букву потому, что пространство X = R1 рассматривается как снабженное его борелевской а-алгеброй 33 х).
Чтобы проверить а), достаточно доказать, что все открытые подмножества С (они порождают $с) содержатся б *1 (С). Но С — сепарабельное метрическое пространство, значит, любое его открытое подмножество представляется в виде суммы счетного числа сферических окрестностей точек; значит, достаточно установить принадлежность 0а’ь^ (С) только множеств вида {у/. р[а Ь](у,, хш) < е} (изображение такой сферы см. рис. 13).
Задача 1. Проверьте, что {У. е с Р1а, ы (У.> х•) < е} =И=
ф П {y.^C: \уг — хг\<е)-
рац. ге[а, b]
однако
{У.^С: Р1а, „,(?., хш) < е} =
оо
= 11 П {У.^С: \уг —xr\< e~\Jn}.
п— I рац. г е [а, Ь\
Это доказывает а).
Что касается б), достаточно установить, что для любого /е[а, Ь], Ге!1 множество (хеС: xt е еГ}е^с- Но это вытекает из того, что функционал, ставящий в соответствие функции хш е= С ее значение xt в точке t, непрерывен (любая непрерывная функция на метрическом пространстве измерима относительно борелевской а-алгебры).
3. Вопрос об относительной слабой компактности семейств мер на функциональном пространстве X связывается с условиями компактности подмножеств X. В частности, условие компактности в пространстве С дается теоремой Арцела; теорема Прохорова показы-
140
вает, что для того, чтобы установить относительную слабую компактность семейства вероятностных мер на (С, Sfic), нужно для каждого е > 0 загнать все меры из семейства целиком, за исключением е, в одно и то же множество, удовлетворяющее условиям теоремы Ар цел а.
С учетом этого из теоремы 3 § 5.2 получаем следующую теорему:
Т е о р е м а 2. Для того чтобы семейство распределений \ih в пространстве С, отвечающих случайным функциям /е[а, 6], с непрерывными реализациями, было относительно компактно в смысле слабой сходимости, достаточно, чтобы существовали константы С > 0, а > 1, у > 0 такие, что для любых h, s, t
M\l1-lhs\a^C\t-s\l+y.
M |E* \a<c.
Доказательство. Согласно теореме 3 § 5.2, для непрерывной модификации процесса выполняется неравенство:
|IfA-LA|<C(a,
где 0 < Р < у/а, а Bh — случайная величина, для которой MS/, (Ь — а)/(\ — 2_v+aP). В данном случае I* совпадает с потому что мы предположили процессы уже непрерывными.
Рассмотрим компактное подмножество пространства С [а, Ь]:
* = {*.: Ua|<(2C/e)'/a, |
для всех s, t, | s — 11 ^ 11
(оно компактно в силу теоремы Арцела). Вероятность того, что не попадет в это множество (т. е. цА(С\/С)), не превосходит
P{|s;|>(fr} + P{BS>^L_}<
8 I 8 2 2 —6‘
Это доказывает теорему.
141
Рассмотрим пример. Пусть ^.......?п, ... — незави-
симые случайные величины, принимающие значения ±1 с вероятностью 1/2. Устроим при любом положительном h случайную функцию SJ1, t^O, следующим образом: =/г (?, + ... + ?ft), а между kh2 и
(&+1)/г2 сделаем эту функцию линейной: SJ* =
= (/Г2/ — k) S(*+i) ^ -f (A + 1 — h~2t) Sw при M2 ^ t <I(&-|- 1 )h2. To есть S* — ломаная, начинающаяся со значения SJ = 0 и состоящая из звеньев длиной по горизонтали /г2, идущих на каждом шагу с вероятностью 1/2 вверх или вниз на высоту h (рис. 14).
Рис. 14
Будем рассматривать эти случайные, функции на отрезке [О, Т]; реализации все принадлежат С = = С [О, Т]. Обозначим через \ih распределение 5* в пространстве С и докажем, что семейство {мЛ h > 0} относительно слабо компактно.
Для этого оценим М [SJ*— 5Л]4 (что же касается М [SZ}\ то это просто 0). Если |/ — поль-
зуемся очевидным неравенством
М [St - S*]4 ^h~\t - s)4 < (t - sf.
Для 11 — s | > h2 пользуемся тем, что SJ* — равно слагаемому, не превосходящему по модулю 2h (см. рис. 14), плюс h, умноженное на сумму независимых случайных величин + ... + Ъ в числе / — &
