Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Замечание 2. Условия М [ Е; — is|a^C|/ — s| недостаточно для существования непрерывной модификации, как показывает пример .пуассоновского про-
126
цесса (его реализации нельзя сделать непрерывными с сохранением тех же конечномерных распределений).
Замечание 3. Теорема Колмогорова справедлива не. только для процессов с числовыми значениями, но и для процессов, принимающих значения в произвольном полном метрическом пространстве. Теорема также обобщается на случайные поля в Rm\ в этом случае вместо (1) нужно требовать, чтобы момент приращения не превосходил C\t — s|m+E, потому что число пар соседних двоично-рациональных точек со знаменателями 2п, а значит, и слагаемых в соответствующей сумме, заменяющей максимум, будет порядка (2п)т.
Задача 2. Докажите, что существует гауссовский процесс Z(t), 0</<1, с нулевым математическим ожиданием и корреляционной функцией K(t, s) = t/\ s — ts с непрерывными реализациями.
7. Теорему Колмогорова можно уточнить: из ее условий вытекает не просто существование непрерывной модификации |<, но и то, что эта модификация удовлетворяет условию Гёльдера.
Теорема 3. При выполнении условий теоремы Колмогорова для любого (3, 0 < |3 < е/а, при всех s,/e[ii,ft], |s — t\ ^ 1
||t-Ll<C(a, fi)B4°\t-sf, (5)
где С (a, (3)— число, зависящее от а и (3, а В = В (со) — случайная величина, с вероятностью 1 конечная и такая, что
МЯ < С(Ь~а)
Доказательство. Достаточно установить (5) для двоично-рациональных s, t. Воспользуемся оценкой (2) и неравенством Гёльдера: для любых ап ^ О,
Ьп > О
S S Ьп
п е А ле/1
с.агг(е te’)a!|) “
\п А / 'ЛЕ= А *
127
В качестве b„ берем 213"; получаем:
iI*-Li=is*-U<
¦2 Z! „таХ „ |^(fe+l)/2" ^/2Л1^
re = [-logj | s-t | ] a<ft/2 <(А + 1)/2
,1/a
X
4n = [-log2| s-t I ]
2 ( ? max 1 S(fc+i)/2» - ёА/2« Г • 2"“P')
'n = l-log2|s-Ml
a-
x( ? 2 J
^a = I-log21 s- 11 ] '
< ^ max | lik+mn - lmn |a • 2na^
1/a
X
X 2
a-1
-P M°g2 ls-t\ ) ' “
2 a_l
Сумма от 0 до оо со случайными величинами — это и есть случайная величина В — В(ф)] так как [—log2|s — /|] лежит между —log2|s— 11—1 и —log2|s — 11, то множитель при В1/а не превосходит
a — 1
2 -----------
Множитель при |s — t |Р и есть С (а, |3).
Что же касается случайной величины В, то мы оцениваем MB так же, как МЛ при доказательстве теоремы 2:
МВ = м?тах|?1И1„!.-|ыг,,|‘.2'”»
п = 0
оо
«2> Z |5,.+,„2--5W“i'2”ae<
п~° a<ft/2n<(ft+I)/2re<6
СО
2п (Ь — а)С ¦ 2~"(1+е) . 2»«р = — а)
j __2“е_ЬаР
л*=и
128
Теорема доказана.
Задача 3*. Установите, при каких р винеровский процесс wt, 0 ^ ^ 1, удовлетворяет условию Гёльдера с показа-
телем (5.
8. В некоторых случаях задачу о том, существует ли случайный процесс с данными конечномерными распределениями, почти все реализации которого принадлежат данному подмножеству Y а Хт, удобно разбить на две: первую — о том, существует ли процесс с данными конечномерными распределениями, почти все реализации которого принадлежат некоторому более широкому подмножеству Х<^ХТ, и вторую — задачу в постановке в) п. 1. (Это выгодно, если полученные задачи оказываются проще первоначальной.) Скажем несколько слов о решении задачи о свойствах с вероятностью 1 в постановке в).
Она может решаться для X и Y ф$вт из-за того, что Y представляется в виде Y = X П В, 8efr, И^(5)=1. В этом случае Р {|, ф Y} = Р ({I. ф X} U
ик^вкр &<?*} +p{i.<i я}=о.
9. Сепарабельность. Свойству сепарабельности уделяется большое внимание во многих книгах по теории случайных процессов. Его можно рассматирвать как очень слабое требование регулярности реализаций — настолько слабое, что у каждого процесса существует сепарабельная модификация; и можно доказывать результаты такого рода: если процесс сепарабелен, а его конечномерные распределения удовлетворяют таким-то требованиям, то почти все выборочные функции обладают такими-^о свойствами (результаты в постановке в) п. 1).
Случайный процесс §(, t еГ, называется сепарабельным, если в Т существует подмножество Т0 такое, что с вероятностью 1 для всех t е Т \ТВ ?/(<») принадлежит множеству частичных
V
Рис. 12
пределов |s(co) при s-*-t, seTj. Иначе говоря, почти все реализации должны обладать следующим свойством: график ?;(со), teT, содержится в замыкании графика ?s(co), seTо (этим свойством обладают, например, функции на рис. 12 слева и в середине, но не функция на том же рисунке справа).
