Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
118
б) Для любой действительной функции m{t) на Т и любой действительной неотрицательно определенной
функции K(t,s) на Г XT' (т. е. X (tj, h) ^ О
!, k
для любых (/? J- и комплексных cf, это равносильно K(t, s)= K(s, t) и выполнению условия неотрицательной определенности для всех действительных Cj) существует действительная гауссовская случайная функция с т(/) = М^ и K(t,s) в качестве корреляционной функции.
Здесь в качестве t берем n-мерное нормаль,
1 ' ‘ ‘ П
ное распределение с вектором математических ожида-
ний (m(t\)........m(tn)) и матрицей ковариаций
tk), /, k = 1, . . . , п); для существования такого распределения достаточно неотрицательной определенности матрицы.
Согласованность распределений вытекает из того, что нормальное распределение однозначно определяется математическим ожиданием и матрицей ковариаций, и того, что распределение любого подвектора нормального вектора снова нормально.
В частности, теперь мы можем установить существование винеровского процесса. Действительно, гауссовский процесс с нулевым математическим ожиданием и корреляционной функцией K{t, s)—tAs — винеровский процесс, так что достаточно проверить неотрицательную определенность этой функции. Можно не проверять этого непосредственно, а воспользоваться тем, что tЛ s является корреляционной функцией пуассоновского процесса (при а = 1).
Конечно, имеется еще тысяча путей доказательства того же: например, можно прямо проверить согласованность выписанных в п. 5 § 1.2 распределений или воспользоваться результатом задачи 4* § 3.1 в применении к счетной последовательности независимых нормальных (0, 1) случайных величин.
Далее, возвращаясь к задаче 7 § 1.2, мы видим, что существует гауссовский процесс Z(t), O^/^l, конечномерные распределения которого являются предельными для V nYn(t) при п —*¦ оо, — это процесс с нулевым математическим ожиданием и корреляционной функцией K(t, s) — t Л s — ts.
в) Задача 2*. Докажите существование процесса Коши (определение см. в п. 4 § 1.2).
119
§ 5.2. Свойства с вероятностью 1
1. Займемся свойствами выборочных функций, выполненными с вероятностью 1. Пусть имеется случайная функция |f, t^T, относительно реализаций которой ничего не известно (кроме того, что они принадлежат Хт). Для каких множеств X с Хг можно утверждать, что Р {?. е Х> = 1 ? Мы видели, что для многих представляющих интерес множеств X эту вероятность нельзя найти, зная конечномерные распределения. Как мы уже говорили в п. 2а2) § 1.3, в случае несчетного Т лишь редко задача о свойствах с вероятностью 1 может быть решена в такой формулировке:
По данным конечномерным распределениям указать, равна вероятность того, что выборочная функция принадлежит X, единице или нет.
Здесь естественные постановки задач такие:
а) По данным конечномерным распределениям указать, существует ли случайный процесс с такими распределениями, для которого Р{^еХ} = 1.
а) По данным конечномерным распределениям процесса указать, существует ли процесс \t, стохастически эквивалентный ему (т. е. Р {§* = ?*} = 1 для всех t е Т) и такой, что P{f,eX} = l.
в) Пусть почти все выборочные функции процесса с данными конечномерными распределениями обладают некоторым свойством: Р {I. еХ} = 1. Указать, будут ли почти все выборочные функции обладать некоторым более сильным свойством, т. е. будет ли Р {?. е= У} = 1, где Y с= X.
Разумеется, эти постановки задачи связаны друг с другом. Так, если б) решается положительно, то так же будет и с а), потому что стохастически эквивалентные процессы имеют одни и те же конечномерные распределения.
2. Относительно задачи в постановке а) можно сформулировать следующую теорему.
Теорема 1. Для положительного ответа на вопрос а) необходимо и достаточно, чтобы внешняя мера рассматриваемого множества X cz Хт, соответствующая мере ц.? :
|х*в (ЛГ) = inf {|ге> (Л): А^Х, ЛеГ},
была равна единице. При этом всегда существует случайная функция с данными конечномерными рас-
120
пределениями, у которой все реализации принадлежат X.
Что касается необходимости, то здесь нечего доказывать; докажем достаточность.
Пусть (1* (X) = 1. Возьмем в качестве пространства элементарных событий множество X, в качестве основной а-алгебры д~ совокупность всех подмножеств X, представимых в виде X Г) В, В^9?т (проверить, что это — а-алгебра!); случайный процесс определим так: ?,t(x.) = xt, х.<=Х. Остается определить вероятность Р. Если /lef представляется в виде X Г) В, Ве^г, положим Р(Л) = |1^ (В).
Нужно проверить корректность этого определения. Пусть А = X П В{ = X П В2, Ви В2<=Я?Т. Тогда X Г) П (Bi АВ2) (А обозначает симметрическую разность множеств) — пустое множество, т. е. X ^ Хт \ (В1 АВ2). Но тогда в силу сделанного предположения (1^ (ХГ\(Б1 АВ2)) = 1, т. е. (1^ (В,АЙ2) = 0, откуда
!-1?. (^0 = ^5. (^г) ¦
После того как корректность определения доказана, счетная аддитивность Р доказывается совсем просто; Р — вероятностная мера, потому что Р(Х') = = (Хт)= 1. Наконец, конечномерные распределения
