Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
[0, 1)" и R".
Вспомним, например, как устанавливается равномощность полуинтервала [0, 1) и квадрата [0, I)2. Любая точка xs[0, 1) записывается в виде бесконечной двоичной дроби, например * = 0,01110010110... Однозначность записи обеспечивает, если рассматривать только записи с бесконечным числом нулей (из двух двоичных записей: 0,010000...= 1/4 и 0,001111..= 1/8 + + 1/16 + ...= 1/4 — использовать только первую). Двоичная запись, далее, разбивается на «грани», содержащие один нуль, причем в конце:', х = 0, 0 1110 0 10 110 . . . ; и из всех граней
Т а 3 4 LTJ
с -нечетными номерами образуется двоичное число у i = = 0, 0 0 110 ..., а из граней с четными номерами — число
1 3 5
у2 = 0, 1110 10 . . . Легко видеть, что построенное таким обра-
1_2_1 Т
зом соответствие между [0, 1) и у = (уи у2) е [0, I)2 будет взаимно однозначным. Но оно будет также и измеримым относительно соответствующих борелевских 0-алгебр. Это вытекает из того, что любая k-я грань в двоичной записи числа yi или (/2 принимает то или иное значение из множества {0; 10; 110; ...} на множестве точек х, составленном из конечного или счетного числа полуинтервалов (а любая грань числа х принимает то или иное значение для точек у из конечного или счетного числа прямоугольников) .
116
Изоморфен измеримому пространству ( [О, 1], -®[о, ij) и гильбертов кирпич с соответствующей а-алгеброй.
Далее, теорема Колмогорова остается верной и для измеримых пространств, изоморфных не всему отрезку [О, 1] с ст-алгеброй его борелевских подмножеств, а какому-либо борелевскому подмножеству отрезка с ст-алгеброй его борелевских подмножеств. Достаточно проверить это для самих борелевских подмножеств [0,1] (а не их изоморфных образов).
Пусть X — непустое борелевское подмножество отрезка [0,1], 33х —ст-алгебра борелевских подмножеств X. Пусть при всех п на (Хп, З&х) определены согласованные друг с другом вероятностные меры t . Эти меры естественным образом продолжаются на ([0, 1]я, 3@\0i ц)> если положить меру той части [0, 1]", которая не попадает в Хп, равной нулю. Запись этого в виде формулы: продолжаем меру fit t
на ст-алгебру 1]; полагая для множества А из этой ст-алгебры ц, , (Л) = fi, , (Л Г\Хп). Легко прове-
М 1п 1 1 п
ряется, что и продолженные меры тоже согласованы друг с другом. Значит, существует случайная функция h, t^T, со значениями в [0, 1] и с конечномерными распределениями nt t • Чтобы получить случайную функцию со значениями в X, берем произвольный элемент Хо^Х и полагаем
- _ ( It, если It ^Х;
С если ^ X.
Эта случайная функция уже принимает значения только из X. Она имеет те же самые конечномерные распределения, так как стохастически эквивалентна \t~. для любого <еГ
РШ?=У = Р{^*} = М[0, 1]\*) = 0.
В связи с этим вводится следующее определение. Измеримое пространство (X, i2?) называется борелев-ским, если оно изоморфно какому-нибудь борелевскому подмножеству отрезка [0, 1] с ст-алгеброй его борелевских подмножеств.
Пользуясь этим понятием, сформулируем теорему Колмогорова в том виде, в каком мы ее будем использовать:
117
Пусть (Х,Я?)— борелевское измеримое пространство-, пусть каждому конечному набору не совпадающих друг с другом элементов t\, . . . , tn множества Т поставлена в соответствие вероятностная мера ц. , на (Хп, 3Sn). Для того чтобы эти меры состав-
Г, ... п
ляли систему конечномерных распределений какой-либо случайной функции, необходимо и достаточно согласованности системы этих мер.
Широкую применимость теоремы Колмогорова в этой формулировке обеспечивает следующая
Микротеорема. Любое борелевское подмножество любого полного сепарабельного метрического пространства (а не только отрезка [О, 1]) с а-алгеброй его борелевских подмножеств является борелевским пространством.
Доказательство читатель может найти в книге К- Куратовского «Топология» (М.: Мир,— 1966. — Т. I), а может провести самостоятельно, погрузив метрическое пространство в гильбертов кирпич.
Что же касается множества Т, то специально отметим, что оно может быть совершенно любым.
Вопрос о том, как по системе конечномерных распределений указать, имеется ли случайная функция с данными конечномерными распределениями, реализации которой принадлежат некоторому X с *г, будет рассматриваться в следующем параграфе.
6. Приведем примеры применения теоремы Колмогорова.
а) Мы можем доказать существование последовательности независимых случайных величин с данными распределениями Цл, ¦¦¦ — объекта изуче-
ния, привлекающего столь большое внимание. Полагаем ц. . . =ц.. ХП,- Х---ХЦ,- при
1 112 * • ¦ 1П 1\ 12 1П 4 1 К
/ Ф Щ. Согласованность этих распределений следует из того, что для конечного числа случайных величин все в порядке.
• Более того, нам совершенно безразлично, счетно или нет множество Т, на котором мы собираемся определить нашу случайную функцию; т. е. если для любого t Т задано распределение \xt\ то существует случайная функция с независимыми значениями, имеющая |д< в качестве одномерных распределений. (Плохие свойства такой случайной функции составляли предмет задачи 4 § 2.1.)