Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Сп=^{х.: (xtt, ..., xtn)^An), А<=9^,\ь (4)
Предположим, что счетная аддитивность не имеет места, т. е. существует такая последовательность
оо
^ э С2 з . .. э Сл э . . ., П С„ = 0, множеств вида
гг = I
(4), для которой ц(Сп) не стремится к нулю при п—v-oo. Последовательность ц(С„)—невозрастающая (в силу конечной аддитивности), ограниченная снизу нулем; значит, предел у нее есть, но, по нашему предположению, не равный нулю, а положительный. Иначе говоря, ц(С„) > е >> 0 для всех п.
113
Далее, любую функцию со значениями в [0, 1], определенную на счетном множестве {t\, ..., t„, ...} (то есть принадлежащую [0, 1]^'.......мы мо-
жем продолжить до функции на множестве 7 — элемента [О, 1]г. Значит, пересечение множеств Сп вида (4) в fO, IV пусто тогда и только тогда, когда пусто
пересечение таких же множеств в [0, l]^1......." К
Будем дальше рассматривать множества именно в этом пространстве и меру |д, определенную на его цилиндрических подмножествах.
До сих пор все наши рассуждения были применимы не только к пространству функций со значениями из [0, 1], но и к пространству функций, принимающих значения в произвольном множестве X. Теперь настало время воспользоваться тем, что X = = [0, 1].
Мы помним, что любой отрезок — компакт; компактами являются и кубы [О, 1]п. Более того, в произведении счетного числа отрезков [0, l]^1’ " ’*п' можно ввести естественную метрику, в которой оно станет компактом. А именно, для двух точек из [0, !]{*!• • *п- •• }; = (л:<1, . .., xtn, . . .) и г/. =
= (yt , . . ., yt , . . .) полагаем
р(*. yJ = [K-y02+ (-¦¦*/--•) + •••
Метрическое пространство [0, 1]* г "" с мет-
рикой р — это широко известный пример компакта в бесконечномерном пространстве, так называемый гильбертов кирпич. Почему он так называется? Дело в том, что обычно это метрическое пространство вводится в другой форме, приводящей к тому же пространству с точностью до изоморфизма. А именно, в гильбертовом пространстве I2, состоящем из последовательностей x=(xi, ..., хп, ...), с метрикой
р(х, у) =f= [(*, — г/,)2 + ... +{хп — упУ + ...]|/2
рассматривается множество точек, удовлетворяющих условиям 0 ^ х\ ^ 1, 0 ^ х2 ^ 1/2, ..., 0 ^ хп
^1/2л_1, ... Это — бесконечномерный параллелепипед
114
размером 1 X 1/2 X 1/4 X 1/8 X •••; первые три измерения у него — как у обычного трехмерного кирпича: ширина вдвое меньше длины, а высота еще вдвое меньше.
Доказательство компактности гильбертова кирпича можно прочесть в книге Колмогорова и Фомин а (1968, гл. II, § 7, пп. 1, 2).
Следующий пункт нашего доказательства. Известно, что для любой конечной меры на (Rn,3Sn) внутри любого борелевского множества можно выбрать компактное множество сколь угодно близкой к нему меры. Примерим это к мере |х, , и множеству Л„; полу-
?Г • • я
чим, что существует компакт Кп ^ Ап такой, что из uf t (Лп \ Кп) < е/2г\ Введем обозначение:
Dn = {x.\ (xtr xtn) <= Кп}\
из определения Кп вытекает, что Dn ^ Сп. Множества Dn — компактные подмножества гильбертова кирпича (потому что Dn гомеоморфно произведению компакта Кп на гильбертов кирпич). Изменим немного множества Dn так, чтобы получить невозрастающую последовательность множеств с тем же пересечением:
D'n = D{[\ D2[\ ... П Dn.
Это — также последовательность компактных подмножеств гильбертова кирпича.
Докажем, что jj. (/)„)> 0. Имеем:
= JI(C„)-Jifu (Сп \ А)) > 8 - t v(Cn\Di). \l=l / 1=1
Из того, что Сп образуют невозрастающую последовательность, вытекает, что i-e слагаемое в последней сумме не превосходит jj. (Ct \ Z);) = t (Л; \ Kt) <
< е/2‘. Отсюда получаем jj. (/)')> е — е/2 — ...—
— е/2" > 0.
Раз (j. (D'п) > 0 при всех п, то компакты D'n непусты. Невозрастающая последовательность непустых компактов имеет непустое пересечение, откуда
ОО ОО ОО
n C.afl Dn= П йпф 0,
л = ! п = 1 п=\
115
что находится в противоречии с предположенной нами пустотой пересечения Сп. Это доказывает счетную аддитивность ц.
.Теперь возвращаемся от пространства
[О, 1]^‘...*п' к пространству [О, 1]г. Продолжая
меру ц на о-алгебру $[0, ц, получаем искомое вероятностное пространство и случайную функцию.
Теорема доказана.
5. Мы сформулировали и доказали теорему Колмогорова для случайных функций, принимающих значения в ([0, 1], ^[о, ]]); однако ясно, что она будет справедлива и для широкого класса более общих измеримых пространств (X, ^). Прежде всего, это будет, если измеримое пространство (А-, %?) изоморфно измеримому пространству - [О, 1], .^[о, п), т. е. если между X и [0, 1] можно установить взаимно однозначное и измеримое в обе стороны соответствие.
Изоморфны отрезку с 0-алгеброй его борелевских подмножеств измеримые пространства (R\ J?1) и любое из (Rn, ‘Мп). Чтобы установить этот изоморфизм, нужно взять доказательство равномощности [0, 1] и R1 (или Rn) и проверить, что то взаимно однозначное соответствие, которое при этом строится, в обе стороны измеримо. Проверка разбивается на ряд отдельных ступеней, например, такие: равномощность (и изоморфность как измеримых пространств) [0, 1] и [0, 1); далее [0, 1) и [0, 1)";
