Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
построенного случайного процесса — те, что были даны заранее, т. е. соответствующие распределению
Р{х.еХ: (!,,(*.), .... ltn {х.)) е= Л} =
= Р(ХП{*.е=*г: (xh, ..., ^)еЛ}) =
= |xg {х.: (xti, J <= Л} = n(i ... ^ (Л).
3. В силу доказанной теоремы задача о свойствах с вероятностью 1 в постановке а) в принципе разрешима, потому что распределение процесса полностью определяется конечномерными распределениями. Однако значительно больший интерес представляют критерии, позволяющие установить существование процесса с заданными свойствами реализаций по конечномерным распределениям не выше определенного порядка k. В конкретных случаях очень часто бывает удобнее не рассматривать внешние меры, а решать задачу в постановке б).
121
Начнем с одной микротеоремы, чтобы показать, какого рода здесь могут быть результаты и как они могут доказываться.
Микротеорема. Пусть It, t е Т е Я1, — случайный процесс, для которого Р{?5<;?<} = 1 при s^Lt. Тогда существует стохастически эквивалентный ему процесс |/, почти все траектории которого — монотонно неубывающие функции.
Доказательство. Прежде всего, в каждой точке t^T, предельной для Т слева (справа), существует lim (P)?s (lim (P)?s). Действительно, если
S t— S —^ t -f-
ti > t2 > > tn> ..., tn^T, tn\t, то последова-
тельность L сходится с вероятностью 1, так как она
1П
почти наверное монотонно убывает и ограничена снизу Обозначим предел этой последовательности lt+- Для достаточно близких к t справа точек s
Р {I, + < ls < lt + + е] > Р {I, + < ltfl < lt + + ej ,
где п может быть сделано сколь угодно большим, и, значит, эта вероятность стремится к единице при всяком положительном е.
Задача 1. Для всех точек / е Г, за исключением, быть может, счетного множества, Р{?<_ = ^ = = ?<+} = 1, т. е. скачков не более чем счетное число. Доказать.
Далее, рассмотрим счетное множество Т0^Т, всюду плотное в Т и, кроме того, содержащее все точки, где \t не является стохастически непрерывным. Так как множество Т0 счетно, то
Р {?s ^ lt для всех s ^ t, s, t f= T0) = 1.
Теперь, чтобы получить процесс продолжим почти все траектории It по непрерывности с Т0 на Т\Т0. А именно, для точек t^T\T0, являющихся предельными справа для Т0: tn\t, tn е Т0, положим
\t = lim .причем, если конечный предел не суще-
П -> оо
ствует, положим = 0; если же t не является точкой, предельной справа для Т0> то она будет предельной слева (изолированные точки включаются в Т0 — иначе Т0 не будет всюду плотно в Г), и применяется аналогичная конструкция с tn\t. Для / еТо полагаем \{~Ъ-
122
легко понять, что с вероятностью 1 траектории процесса 11 не убывают по t.
Остается доказать, что Р = 1 для любого
t^T. Для /еТо это выполнено тривиальным образом. Пусть t<?T0; рассмотрим ту самую последовательность tn-+t, которая использовалась при определении It. С вероятностью 1 равно
П -> оо
или ?г__, а эти величины с вероятностью 1 равны
4. Проследим структуру доказательства микротеоремы п. 3; она будет такой же для многих других доказательств.
Выбирается счетное множество Т0, всюду плотное в Т. Это множество выбирается не совсем произвольным образом; в частности, выбор Т0 осуществляется так, чтобы процесс был стохастически непрерывен в точках Т\Т0. Затем проверяем, что процесс ?* на Т0 с вероятностью 1 обладает свойством, обеспечивающим возможность такого его продолжения на Т0, для которого выполняется данное свойство (принадлежность реализаций данному X а Хт). Далее выбираем операцию (обычно предельную операцию), которая осуществляет такое продолжение (в случае микротеоремы п. 3 для точек t^.T\T0, предельных для То справа, — предел по последовательности tn\t\ для остальных — предел по последовательности tn\t). При этом нужно позаботиться о том, чтобы эта операция приводила к определенному результату не только с вероятностью 1 в применении к выборочной функции но и всегда, — иначе случайные величины It, которые мы хотим определить, окажутся заданными не на всем пространстве Q, а только на почти всем (в случае нашей микротеоремы, если конечный предел не существовал, мы брали вместо него нуль). Обозначаем результат применения этой операции 11 (/еГ\Г0); доказываем ^-измеримость 11. Для t^T0 полагаем I; = Ъ- Итак, процесс, почти все траектории которого обладают свойством X, уже получен; остается доказать, что он стохастически эквивалентен первоначальному: Р{|< = ^}==1 для любого /ёТ. Для t^T0 доказывать нечего; для t^T\T0 используются стохастическая непрерывность процесса и совпадение (почти наверное) пределов по вероятности и с вероятностью 1.
123
5. Теорема 2 (теорема Колмогорова). Пусть t^[a,b],— случайный процесс, принимающий числовые значения. Пусть существуют константы С > О, е > 0 и а > 1 такие, что для всех s,t е [а,Ь]
Тогда существует стохастически эквивалентный^ случайный процесс \t, все реализации которого непрерывны по t.