Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Вентцель А.Д. -> "Курс теории случайных процессов " -> 46

Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.

Вентцель А.Д. Курс теории случайных процессов — М.: Наука, 1996. — 400 c.
Скачать (прямая ссылка): kursteoriisluchaynihprocessov1996.pdf
Предыдущая << 1 .. 40 41 42 43 44 45 < 46 > 47 48 49 50 51 52 .. 146 >> Следующая


построенного случайного процесса — те, что были даны заранее, т. е. соответствующие распределению

Р{х.еХ: (!,,(*.), .... ltn {х.)) е= Л} =

= Р(ХП{*.е=*г: (xh, ..., ^)еЛ}) =

= |xg {х.: (xti, J <= Л} = n(i ... ^ (Л).

3. В силу доказанной теоремы задача о свойствах с вероятностью 1 в постановке а) в принципе разрешима, потому что распределение процесса полностью определяется конечномерными распределениями. Однако значительно больший интерес представляют критерии, позволяющие установить существование процесса с заданными свойствами реализаций по конечномерным распределениям не выше определенного порядка k. В конкретных случаях очень часто бывает удобнее не рассматривать внешние меры, а решать задачу в постановке б).

121
Начнем с одной микротеоремы, чтобы показать, какого рода здесь могут быть результаты и как они могут доказываться.

Микротеорема. Пусть It, t е Т е Я1, — случайный процесс, для которого Р{?5<;?<} = 1 при s^Lt. Тогда существует стохастически эквивалентный ему процесс |/, почти все траектории которого — монотонно неубывающие функции.

Доказательство. Прежде всего, в каждой точке t^T, предельной для Т слева (справа), существует lim (P)?s (lim (P)?s). Действительно, если

S t— S —^ t -f-

ti > t2 > > tn> ..., tn^T, tn\t, то последова-

тельность L сходится с вероятностью 1, так как она



почти наверное монотонно убывает и ограничена снизу Обозначим предел этой последовательности lt+- Для достаточно близких к t справа точек s

Р {I, + < ls < lt + + е] > Р {I, + < ltfl < lt + + ej ,

где п может быть сделано сколь угодно большим, и, значит, эта вероятность стремится к единице при всяком положительном е.

Задача 1. Для всех точек / е Г, за исключением, быть может, счетного множества, Р{?<_ = ^ = = ?<+} = 1, т. е. скачков не более чем счетное число. Доказать.

Далее, рассмотрим счетное множество Т0^Т, всюду плотное в Т и, кроме того, содержащее все точки, где \t не является стохастически непрерывным. Так как множество Т0 счетно, то

Р {?s ^ lt для всех s ^ t, s, t f= T0) = 1.

Теперь, чтобы получить процесс продолжим почти все траектории It по непрерывности с Т0 на Т\Т0. А именно, для точек t^T\T0, являющихся предельными справа для Т0: tn\t, tn е Т0, положим

\t = lim .причем, если конечный предел не суще-

П -> оо

ствует, положим = 0; если же t не является точкой, предельной справа для Т0> то она будет предельной слева (изолированные точки включаются в Т0 — иначе Т0 не будет всюду плотно в Г), и применяется аналогичная конструкция с tn\t. Для / еТо полагаем \{~Ъ-

122
легко понять, что с вероятностью 1 траектории процесса 11 не убывают по t.

Остается доказать, что Р = 1 для любого

t^T. Для /еТо это выполнено тривиальным образом. Пусть t<?T0; рассмотрим ту самую последовательность tn-+t, которая использовалась при определении It. С вероятностью 1 равно

П -> оо

или ?г__, а эти величины с вероятностью 1 равны

4. Проследим структуру доказательства микротеоремы п. 3; она будет такой же для многих других доказательств.

Выбирается счетное множество Т0, всюду плотное в Т. Это множество выбирается не совсем произвольным образом; в частности, выбор Т0 осуществляется так, чтобы процесс был стохастически непрерывен в точках Т\Т0. Затем проверяем, что процесс ?* на Т0 с вероятностью 1 обладает свойством, обеспечивающим возможность такого его продолжения на Т0, для которого выполняется данное свойство (принадлежность реализаций данному X а Хт). Далее выбираем операцию (обычно предельную операцию), которая осуществляет такое продолжение (в случае микротеоремы п. 3 для точек t^.T\T0, предельных для То справа, — предел по последовательности tn\t\ для остальных — предел по последовательности tn\t). При этом нужно позаботиться о том, чтобы эта операция приводила к определенному результату не только с вероятностью 1 в применении к выборочной функции но и всегда, — иначе случайные величины It, которые мы хотим определить, окажутся заданными не на всем пространстве Q, а только на почти всем (в случае нашей микротеоремы, если конечный предел не существовал, мы брали вместо него нуль). Обозначаем результат применения этой операции 11 (/еГ\Г0); доказываем ^-измеримость 11. Для t^T0 полагаем I; = Ъ- Итак, процесс, почти все траектории которого обладают свойством X, уже получен; остается доказать, что он стохастически эквивалентен первоначальному: Р{|< = ^}==1 для любого /ёТ. Для t^T0 доказывать нечего; для t^T\T0 используются стохастическая непрерывность процесса и совпадение (почти наверное) пределов по вероятности и с вероятностью 1.

123
5. Теорема 2 (теорема Колмогорова). Пусть t^[a,b],— случайный процесс, принимающий числовые значения. Пусть существуют константы С > О, е > 0 и а > 1 такие, что для всех s,t е [а,Ь]

Тогда существует стохастически эквивалентный^ случайный процесс \t, все реализации которого непрерывны по t.
Предыдущая << 1 .. 40 41 42 43 44 45 < 46 > 47 48 49 50 51 52 .. 146 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed